Ratkaise 2x^2-11x-21

$$2 x ^ { 2 } - 11 x - 21$$

Jaa tekijöihin

$$\left(x-7\right)\left(2x+3\right)$$

Ratkaisun vaiheet

Jaa lauseke tekijöihin ryhmittelemällä. Lauseke täytyy kirjoittaa ensin uudelleen muodossa 2x^{2}+ax+bx-21. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=-11 ab=2\left(-21\right)=-42$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin positiivinen. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on -42.

$$1,-42 2,-21 3,-14 6,-7$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-42=-41 2-21=-19 3-14=-11 6-7=-1$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on -11.

$$a=-14 b=3$$

Kirjoita \left(2x^{2}-14x\right)+\left(3x-21\right) uudelleen muodossa 2x^{2}-11x-21.

$$\left(2x^{2}-14x\right)+\left(3x-21\right)$$

Ota 2x tekijäksi ensimmäisessä ja 3 toisessa ryhmässä.

$$2x\left(x-7\right)+3\left(x-7\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi x-7 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(x-7\right)\left(2x+3\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$2x^{2}-11x-21=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

Korota -11 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -21.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+168}}{2\times 2}$$

Lisää 121 lukuun 168.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{289}}{2\times 2}$$

Ota luvun 289 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±17}{2\times 2}$$

Luvun -11 vastaluku on 11.

$$x=\frac{11±17}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{11±17}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{11±17}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 11 lukuun 17.

$$x=\frac{28}{4}$$

Jaa 28 luvulla 4.

$$x=7$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{11±17}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 17 luvusta 11.

$$x=-\frac{6}{4}$$

Supista murtoluku \frac{-6}{4} luvulla 2.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Jaa alkuperäinen lauseke tekijöihin yhtälön ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) avulla. Korvaa 7 kohteella x_{1} ja -\frac{3}{2} kohteella x_{2}.

$$2x^{2}-11x-21=2\left(x-7\right)\left(x-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

Sievennä kaavan p-\left(-q\right) kaikki lausekkeet muotoon p+q.

$$2x^{2}-11x-21=2\left(x-7\right)\left(x+\frac{3}{2}\right)$$

Lisää \frac{3}{2} lukuun x selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$2x^{2}-11x-21=2\left(x-7\right)\times \frac{2x+3}{2}$$

Supista lausekkeiden 2 ja 2 suurin yhteinen tekijä 2.

$$2x^{2}-11x-21=\left(x-7\right)\left(2x+3\right)$$

Laske

$$\left(x-7\right)\left(2x+3\right)$$