Ratkaise 2x^2-3/2x+7/10=0

$$2 x ^ { 2 } - \frac { 3 } { 2 } x + \frac { 7 } { 10 } = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{335}i}{40}+\frac{3}{8}\approx 0,375+0,45757513i$$

$$x=-\frac{\sqrt{335}i}{40}+\frac{3}{8}\approx 0,375-0,45757513i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{7}{10}=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -\frac{3}{2} ja c luvulla \frac{7}{10} toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}-4\times 2\times \frac{7}{10}}}{2\times 2}$$

Korota -\frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\sqrt{\frac{9}{4}-4\times 2\times \frac{7}{10}}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\sqrt{\frac{9}{4}-8\times \frac{7}{10}}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja \frac{7}{10}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\sqrt{\frac{9}{4}-\frac{28}{5}}}{2\times 2}$$

Lisää \frac{9}{4} lukuun -\frac{28}{5} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\sqrt{-\frac{67}{20}}}{2\times 2}$$

Ota luvun -\frac{67}{20} neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\frac{\sqrt{335}i}{10}}{2\times 2}$$

Luvun -\frac{3}{2} vastaluku on \frac{3}{2}.

$$x=\frac{\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{335}i}{10}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{335}i}{10}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{335}i}{10}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää \frac{3}{2} lukuun \frac{i\sqrt{335}}{10}.

$$x=\frac{\frac{\sqrt{335}i}{10}+\frac{3}{2}}{4}$$

Jaa \frac{3}{2}+\frac{i\sqrt{335}}{10} luvulla 4.

$$x=\frac{\sqrt{335}i}{40}+\frac{3}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{335}i}{10}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \frac{i\sqrt{335}}{10} luvusta \frac{3}{2}.

$$x=\frac{-\frac{\sqrt{335}i}{10}+\frac{3}{2}}{4}$$

Jaa \frac{3}{2}-\frac{i\sqrt{335}}{10} luvulla 4.

$$x=-\frac{\sqrt{335}i}{40}+\frac{3}{8}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{335}i}{40}+\frac{3}{8} x=-\frac{\sqrt{335}i}{40}+\frac{3}{8}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{7}{10}=0$$

Vähennä \frac{7}{10} yhtälön molemmilta puolilta.

$$2x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{7}{10}-\frac{7}{10}=-\frac{7}{10}$$

Kun luku \frac{7}{10} vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{7}{10}$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-\frac{3}{2}x}{2}=-\frac{\frac{7}{10}}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{3}{2}}{2}\right)x=-\frac{\frac{7}{10}}{2}$$

Jaa -\frac{3}{2} luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x=-\frac{\frac{7}{10}}{2}$$

Jaa -\frac{7}{10} luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x=-\frac{7}{20}$$

Jaa -\frac{3}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{8}. Lisää sitten -\frac{3}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{20}+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=-\frac{7}{20}+\frac{9}{64}$$

Lisää -\frac{7}{20} lukuun \frac{9}{64} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=-\frac{67}{320}$$

Jaa x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}=-\frac{67}{320}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{67}{320}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{8}=\frac{\sqrt{335}i}{40} x-\frac{3}{8}=-\frac{\sqrt{335}i}{40}$$

Lisää \frac{3}{8} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{335}i}{40}+\frac{3}{8} x=-\frac{\sqrt{335}i}{40}+\frac{3}{8}$$