Ratkaise 2x^2=x-4

$$2 x ^ { 2 } = x - 4$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{31}i}{4}\approx 0,25+1,391941091i$$

$$x=\frac{-\sqrt{31}i+1}{4}\approx 0,25-1,391941091i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä x molemmilta puolilta.

$$2x^{2}-x=-4$$

Lisää 4 molemmille puolille.

$$2x^{2}-x+4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -1 ja c luvulla 4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\times 4}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-32}}{2\times 2}$$

Lisää 1 lukuun -32.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-31}}{2\times 2}$$

Ota luvun -31 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{31}i}{2\times 2}$$

Luvun -1 vastaluku on 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{31}i}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{1±\sqrt{31}i}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1±\sqrt{31}i}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 1 lukuun i\sqrt{31}.

$$x=\frac{1+\sqrt{31}i}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1±\sqrt{31}i}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{31} luvusta 1.

$$x=\frac{-\sqrt{31}i+1}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{1+\sqrt{31}i}{4} x=\frac{-\sqrt{31}i+1}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vähennä x molemmilta puolilta.

$$2x^{2}-x=-4$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-x}{2}=-\frac{4}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{4}{2}$$

Jaa -4 luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-2$$

Jaa -\frac{1}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{4}. Lisää sitten -\frac{1}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-2+\frac{1}{16}$$

Lisää -2 lukuun \frac{1}{16}.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{31}{16}$$

Jaa x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{31}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{16}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{31}i}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{31}i}{4}$$

Lisää \frac{1}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{1+\sqrt{31}i}{4} x=\frac{-\sqrt{31}i+1}{4}$$