Ratkaise 2x^2=x+5

$$2 x ^ { 2 } = x + 5$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{41} + 1}{4} \approx 1,850781059$$

$$x=\frac{1-\sqrt{41}}{4}\approx -1,350781059$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä x molemmilta puolilta.

$$2x^{2}-x=5$$

Vähennä 5 molemmilta puolilta.

$$2x^{2}-x-5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -1 ja c luvulla -5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+40}}{2\times 2}$$

Lisää 1 lukuun 40.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{41}}{2\times 2}$$

Luvun -1 vastaluku on 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{41}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{1±\sqrt{41}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1±\sqrt{41}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 1 lukuun \sqrt{41}.

$$x=\frac{\sqrt{41}+1}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1±\sqrt{41}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{41} luvusta 1.

$$x=\frac{1-\sqrt{41}}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{41}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{41}}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vähennä x molemmilta puolilta.

$$2x^{2}-x=5$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-x}{2}=\frac{5}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{5}{2}$$

Jaa -\frac{1}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{4}. Lisää sitten -\frac{1}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{2}+\frac{1}{16}$$

Lisää \frac{5}{2} lukuun \frac{1}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{41}{16}$$

Jaa x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{41}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{16}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{41}}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{41}}{4}$$

Lisää \frac{1}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{41}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{41}}{4}$$