Ratkaise 2x^2+9x-1=0

$$2 x ^ { 2 } + 9 x - 1 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{89}-9}{4}\approx 0,108495283$$

$$x=\frac{-\sqrt{89}-9}{4}\approx -4,608495283$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}+9x-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla 9 ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Korota 9 neliöön.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -1.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+8}}{2\times 2}$$

Lisää 81 lukuun 8.

$$x=\frac{-9±\sqrt{89}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{-9±\sqrt{89}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-9±\sqrt{89}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -9 lukuun \sqrt{89}.

$$x=\frac{\sqrt{89}-9}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-9±\sqrt{89}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{89} luvusta -9.

$$x=\frac{-\sqrt{89}-9}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{89}-9}{4} x=\frac{-\sqrt{89}-9}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+9x-1=0$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$2x^{2}+9x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Kun luku -1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}+9x=-\left(-1\right)$$

Vähennä -1 luvusta 0.

$$2x^{2}+9x=1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}+9x}{2}=\frac{1}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x=\frac{1}{2}$$

Jaa \frac{9}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{9}{4}. Lisää sitten \frac{9}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Korota \frac{9}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{1}{2}+\frac{81}{16}$$

Lisää \frac{1}{2} lukuun \frac{81}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{89}{16}$$

Jaa x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{89}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{89}{16}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{9}{4}=\frac{\sqrt{89}}{4} x+\frac{9}{4}=-\frac{\sqrt{89}}{4}$$

Vähennä \frac{9}{4} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{89}-9}{4} x=\frac{-\sqrt{89}-9}{4}$$