Ratkaise 2x^2+8x+9=0

$$2 x ^ { 2 } + 8 x + 9 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{2}i}{2}-2\approx -2+0,707106781i$$

$$x=-\frac{\sqrt{2}i}{2}-2\approx -2-0,707106781i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}+8x+9=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla 8 ja c luvulla 9 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

Korota 8 neliöön.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-8\times 9}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja 9.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-72}}{2\times 2}$$

Lisää 64 lukuun -72.

$$x=\frac{-8±\sqrt{-8}}{2\times 2}$$

Ota luvun -8 neliöjuuri.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{2}i}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{2}i}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-8±2\sqrt{2}i}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -8 lukuun 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-8+2\sqrt{2}i}{4}$$

Jaa -8+2i\sqrt{2} luvulla 4.

$$x=\frac{\sqrt{2}i}{2}-2$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-8±2\sqrt{2}i}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{2} luvusta -8.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-8}{4}$$

Jaa -8-2i\sqrt{2} luvulla 4.

$$x=-\frac{\sqrt{2}i}{2}-2$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{2}i}{2}-2 x=-\frac{\sqrt{2}i}{2}-2$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+8x+9=0$$

Vähennä 9 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2x^{2}+8x+9-9=-9$$

Kun luku 9 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}+8x=-9$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}+8x}{2}=-\frac{9}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{8}{2}x=-\frac{9}{2}$$

Jaa 8 luvulla 2.

$$x^{2}+4x=-\frac{9}{2}$$

Jaa 4 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 2. Lisää sitten 2:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+4x+2^{2}=-\frac{9}{2}+2^{2}$$

Korota 2 neliöön.

$$x^{2}+4x+4=-\frac{9}{2}+4$$

Lisää -\frac{9}{2} lukuun 4.

$$x^{2}+4x+4=-\frac{1}{2}$$

Jaa x^{2}+4x+4 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+2\right)^{2}=-\frac{1}{2}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{2}}$$

Sievennä.

$$x+2=\frac{\sqrt{2}i}{2} x+2=-\frac{\sqrt{2}i}{2}$$

Vähennä 2 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{2}i}{2}-2 x=-\frac{\sqrt{2}i}{2}-2$$