Ratkaise 2x^2+7x-4=0

$$2 x ^ { 2 } + 7 x - 4 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-4$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 2x^{2}+ax+bx-4. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=7 ab=2\left(-4\right)=-8$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -8.

$$-1,8 -2,4$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 7.

$$a=-1 b=8$$

Kirjoita \left(2x^{2}-x\right)+\left(8x-4\right) uudelleen muodossa 2x^{2}+7x-4.

$$\left(2x^{2}-x\right)+\left(8x-4\right)$$

Jaa x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 4.

$$x\left(2x-1\right)+4\left(2x-1\right)$$

Jaa yleinen termi 2x-1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(2x-1\right)\left(x+4\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 2x-1=0 ja x+4=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}+7x-4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla 7 ja c luvulla -4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

Korota 7 neliöön.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+32}}{2\times 2}$$

Lisää 49 lukuun 32.

$$x=\frac{-7±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

Ota luvun 81 neliöjuuri.

$$x=\frac{-7±9}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{-7±9}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±9}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -7 lukuun 9.

$$x=\frac{2}{4}$$

Supista murtoluku \frac{2}{4} luvulla 2.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±9}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 9 luvusta -7.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Jaa -16 luvulla 4.

$$x=-4$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+7x-4=0$$

Lisää 4 yhtälön kummallekin puolelle.

$$2x^{2}+7x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Kun luku -4 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}+7x=-\left(-4\right)$$

Vähennä -4 luvusta 0.

$$2x^{2}+7x=4$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=\frac{4}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{4}{2}$$

Jaa 4 luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=2$$

Jaa \frac{7}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{7}{4}. Lisää sitten \frac{7}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=2+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Korota \frac{7}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=2+\frac{49}{16}$$

Lisää 2 lukuun \frac{49}{16}.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{81}{16}$$

Jaa x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{9}{4}$$

Vähennä \frac{7}{4} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$