Ratkaise 2x^2+7x-30

$$2 x ^ { 2 } + 7 x - 30$$

Jaa tekijöihin

$$\left(2x-5\right)\left(x+6\right)$$

Ratkaisun vaiheet

Jaa lauseke tekijöihin ryhmittelemällä. Lauseke täytyy kirjoittaa ensin uudelleen muodossa 2x^{2}+ax+bx-30. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=7 ab=2\left(-30\right)=-60$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on 7.

$$a=-5 b=12$$

Kirjoita \left(2x^{2}-5x\right)+\left(12x-30\right) uudelleen muodossa 2x^{2}+7x-30.

$$\left(2x^{2}-5x\right)+\left(12x-30\right)$$

Ota x tekijäksi ensimmäisessä ja 6 toisessa ryhmässä.

$$x\left(2x-5\right)+6\left(2x-5\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi 2x-5 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(2x-5\right)\left(x+6\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$2x^{2}+7x-30=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\left(-30\right)}}{2\times 2}$$

Korota 7 neliöön.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\left(-30\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\left(-30\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -30.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+240}}{2\times 2}$$

Lisää 49 lukuun 240.

$$x=\frac{-7±\sqrt{289}}{2\times 2}$$

Ota luvun 289 neliöjuuri.

$$x=\frac{-7±17}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{-7±17}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±17}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -7 lukuun 17.

$$x=\frac{10}{4}$$

Supista murtoluku \frac{10}{4} luvulla 2.

$$x=\frac{5}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±17}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 17 luvusta -7.

$$x=-\frac{24}{4}$$

Jaa -24 luvulla 4.

$$x=-6$$

Jaa alkuperäinen lauseke tekijöihin yhtälön ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) avulla. Korvaa \frac{5}{2} kohteella x_{1} ja -6 kohteella x_{2}.

$$2x^{2}+7x-30=2\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x-\left(-6\right)\right)$$

Sievennä kaavan p-\left(-q\right) kaikki lausekkeet muotoon p+q.

$$2x^{2}+7x-30=2\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x+6\right)$$

Vähennä \frac{5}{2} luvusta x selvittämällä yhteinen nimittäjä ja vähentämällä osoittajat. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$2x^{2}+7x-30=2\times \frac{2x-5}{2}\left(x+6\right)$$

Supista lausekkeiden 2 ja 2 suurin yhteinen tekijä 2.

$$2x^{2}+7x-30=\left(2x-5\right)\left(x+6\right)$$

Laske

$$\left(2x-5\right)\left(x+6\right)$$