Ratkaise 2x^2+7x-27=0

$$2 x ^ { 2 } + 7 x - 27 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{265} - 7}{4} \approx 2,319705149$$

$$x=\frac{-\sqrt{265}-7}{4}\approx -5,819705149$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}+7x-27=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla 7 ja c luvulla -27 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\left(-27\right)}}{2\times 2}$$

Korota 7 neliöön.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\left(-27\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\left(-27\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -27.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+216}}{2\times 2}$$

Lisää 49 lukuun 216.

$$x=\frac{-7±\sqrt{265}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{265}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±\sqrt{265}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -7 lukuun \sqrt{265}.

$$x=\frac{\sqrt{265}-7}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±\sqrt{265}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{265} luvusta -7.

$$x=\frac{-\sqrt{265}-7}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{265}-7}{4} x=\frac{-\sqrt{265}-7}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+7x-27=0$$

Lisää 27 yhtälön kummallekin puolelle.

$$2x^{2}+7x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

Kun luku -27 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}+7x=-\left(-27\right)$$

Vähennä -27 luvusta 0.

$$2x^{2}+7x=27$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=\frac{27}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{27}{2}$$

Jaa \frac{7}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{7}{4}. Lisää sitten \frac{7}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{27}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Korota \frac{7}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{27}{2}+\frac{49}{16}$$

Lisää \frac{27}{2} lukuun \frac{49}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{265}{16}$$

Jaa x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{265}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{265}{16}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{265}}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{265}}{4}$$

Vähennä \frac{7}{4} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{265}-7}{4} x=\frac{-\sqrt{265}-7}{4}$$