Ratkaise 2x^2+6x-1=0

$$2 x ^ { 2 } + 6 x - 1 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{11}-3}{2}\approx 0,158312395$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}-3}{2}\approx -3,158312395$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}+6x-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla 6 ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Korota 6 neliöön.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -1.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+8}}{2\times 2}$$

Lisää 36 lukuun 8.

$$x=\frac{-6±\sqrt{44}}{2\times 2}$$

Ota luvun 44 neliöjuuri.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{11}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{11}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6±2\sqrt{11}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -6 lukuun 2\sqrt{11}.

$$x=\frac{2\sqrt{11}-6}{4}$$

Jaa -6+2\sqrt{11} luvulla 4.

$$x=\frac{\sqrt{11}-3}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6±2\sqrt{11}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{11} luvusta -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}-6}{4}$$

Jaa -6-2\sqrt{11} luvulla 4.

$$x=\frac{-\sqrt{11}-3}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{11}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{11}-3}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+6x-1=0$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$2x^{2}+6x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Kun luku -1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}+6x=-\left(-1\right)$$

Vähennä -1 luvusta 0.

$$2x^{2}+6x=1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}+6x}{2}=\frac{1}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{6}{2}x=\frac{1}{2}$$

Jaa 6 luvulla 2.

$$x^{2}+3x=\frac{1}{2}$$

Jaa 3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{2}. Lisää sitten \frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{1}{2}+\frac{9}{4}$$

Lisää \frac{1}{2} lukuun \frac{9}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{11}{4}$$

Jaa x^{2}+3x+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{11}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{11}}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{11}}{2}$$

Vähennä \frac{3}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{11}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{11}-3}{2}$$