Ratkaise 2x^2+6x=1/3

$$2 x ^ { 2 } + 6 x = \frac { 1 } { 3 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{87}}{6}-\frac{3}{2}\approx 0,054563176$$

$$x=-\frac{\sqrt{87}}{6}-\frac{3}{2}\approx -3,054563176$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}+6x=\frac{1}{3}$$

Vähennä \frac{1}{3} yhtälön molemmilta puolilta.

$$2x^{2}+6x-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}$$

Kun luku \frac{1}{3} vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}+6x-\frac{1}{3}=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla 6 ja c luvulla -\frac{1}{3} toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 2\left(-\frac{1}{3}\right)}}{2\times 2}$$

Korota 6 neliöön.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 2\left(-\frac{1}{3}\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-8\left(-\frac{1}{3}\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -\frac{1}{3}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+\frac{8}{3}}}{2\times 2}$$

Lisää 36 lukuun \frac{8}{3}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{\frac{116}{3}}}{2\times 2}$$

Ota luvun \frac{116}{3} neliöjuuri.

$$x=\frac{-6±\frac{2\sqrt{87}}{3}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{-6±\frac{2\sqrt{87}}{3}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6±\frac{2\sqrt{87}}{3}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -6 lukuun \frac{2\sqrt{87}}{3}.

$$x=\frac{\frac{2\sqrt{87}}{3}-6}{4}$$

Jaa -6+\frac{2\sqrt{87}}{3} luvulla 4.

$$x=\frac{\sqrt{87}}{6}-\frac{3}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6±\frac{2\sqrt{87}}{3}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \frac{2\sqrt{87}}{3} luvusta -6.

$$x=\frac{-\frac{2\sqrt{87}}{3}-6}{4}$$

Jaa -6-\frac{2\sqrt{87}}{3} luvulla 4.

$$x=-\frac{\sqrt{87}}{6}-\frac{3}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{87}}{6}-\frac{3}{2} x=-\frac{\sqrt{87}}{6}-\frac{3}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+6x=\frac{1}{3}$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}+6x}{2}=\frac{\frac{1}{3}}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{6}{2}x=\frac{\frac{1}{3}}{2}$$

Jaa 6 luvulla 2.

$$x^{2}+3x=\frac{\frac{1}{3}}{2}$$

Jaa \frac{1}{3} luvulla 2.

$$x^{2}+3x=\frac{1}{6}$$

Jaa 3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{2}. Lisää sitten \frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{6}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{1}{6}+\frac{9}{4}$$

Lisää \frac{1}{6} lukuun \frac{9}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{29}{12}$$

Jaa x^{2}+3x+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{29}{12}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{29}{12}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{87}}{6} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{87}}{6}$$

Vähennä \frac{3}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{87}}{6}-\frac{3}{2} x=-\frac{\sqrt{87}}{6}-\frac{3}{2}$$