Ratkaise 2x^2+6x+12=0

$$2 x ^ { 2 } + 6 x + 12 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{15}i}{2}\approx -1,5+1,936491673i$$

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-3}{2}\approx -1,5-1,936491673i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}+6x+12=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla 6 ja c luvulla 12 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 2\times 12}}{2\times 2}$$

Korota 6 neliöön.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 2\times 12}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-8\times 12}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja 12.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-96}}{2\times 2}$$

Lisää 36 lukuun -96.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-60}}{2\times 2}$$

Ota luvun -60 neliöjuuri.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{15}i}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{15}i}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6±2\sqrt{15}i}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -6 lukuun 2i\sqrt{15}.

$$x=\frac{-6+2\sqrt{15}i}{4}$$

Jaa -6+2i\sqrt{15} luvulla 4.

$$x=\frac{-3+\sqrt{15}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6±2\sqrt{15}i}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{15} luvusta -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{15}i-6}{4}$$

Jaa -6-2i\sqrt{15} luvulla 4.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-3}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-3+\sqrt{15}i}{2} x=\frac{-\sqrt{15}i-3}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+6x+12=0$$

Vähennä 12 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2x^{2}+6x+12-12=-12$$

Kun luku 12 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}+6x=-12$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}+6x}{2}=-\frac{12}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{6}{2}x=-\frac{12}{2}$$

Jaa 6 luvulla 2.

$$x^{2}+3x=-\frac{12}{2}$$

Jaa -12 luvulla 2.

$$x^{2}+3x=-6$$

Jaa 3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{2}. Lisää sitten \frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-6+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-6+\frac{9}{4}$$

Lisää -6 lukuun \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-\frac{15}{4}$$

Jaa x^{2}+3x+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{15}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{15}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{15}i}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{15}i}{2}$$

Vähennä \frac{3}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-3+\sqrt{15}i}{2} x=\frac{-\sqrt{15}i-3}{2}$$