Ratkaise 2x^2+5x-3>0

$$2 x ^ { 2 } + 5 x - 3 > 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x\in \left(-\infty,-3\right)\cup \left(\frac{1}{2},\infty\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Ratkaise epäyhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin. Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$2x^{2}+5x-3=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 2 tilalle a, muuttujan 5 tilalle b ja muuttujan -3 tilalle c.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{-5±7}{4}$$

Ratkaise yhtälö x=\frac{-5±7}{4} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$x=\frac{1}{2} x=-3$$

Kirjoita epäyhtälö uudelleen käyttämällä saatuja ratkaisuja.

$$2\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+3\right)>0$$

Jotta tulo on positiivinen, arvojen x-\frac{1}{2} ja x+3 on kummankin oltava joko negatiivisia tai positiivisia. Tarkastele tapausta, jossa x-\frac{1}{2} ja x+3 ovat molemmat negatiivisia.

$$x-\frac{1}{2}<0 x+3<0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x<-3.

$$x<-3$$

Tarkastele tapausta, jossa x-\frac{1}{2} ja x+3 ovat molemmat positiivisia.

$$x+3>0 x-\frac{1}{2}>0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x>\frac{1}{2}.

$$x>\frac{1}{2}$$

Lopullinen ratkaisu on saatujen ratkaisujen yhdistelmä.

$$x<-3\text{; }x>\frac{1}{2}$$