Ratkaise 2x^2+5x=8

$$2 x ^ { 2 } + 5 x = 8$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{89} - 5}{4} \approx 1,108495283$$

$$x=\frac{-\sqrt{89}-5}{4}\approx -3,608495283$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}+5x=8$$

Vähennä 8 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2x^{2}+5x-8=8-8$$

Kun luku 8 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}+5x-8=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla 5 ja c luvulla -8 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-8\right)}}{2\times 2}$$

Korota 5 neliöön.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-8\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-8\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -8.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+64}}{2\times 2}$$

Lisää 25 lukuun 64.

$$x=\frac{-5±\sqrt{89}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{89}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±\sqrt{89}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -5 lukuun \sqrt{89}.

$$x=\frac{\sqrt{89}-5}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±\sqrt{89}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{89} luvusta -5.

$$x=\frac{-\sqrt{89}-5}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{89}-5}{4} x=\frac{-\sqrt{89}-5}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+5x=8$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{8}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{8}{2}$$

Jaa 8 luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=4$$

Jaa \frac{5}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{5}{4}. Lisää sitten \frac{5}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=4+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Korota \frac{5}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=4+\frac{25}{16}$$

Lisää 4 lukuun \frac{25}{16}.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{89}{16}$$

Jaa x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{89}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{89}{16}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{89}}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{89}}{4}$$

Vähennä \frac{5}{4} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{89}-5}{4} x=\frac{-\sqrt{89}-5}{4}$$