Ratkaise 2x^2+4x^2-5x+6=0

$$2 x ^ { 2 } + 4 x ^ { 2 } - 5 x + 6 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{119}i}{12}\approx 0,416666667+0,909059343i$$

$$x=\frac{-\sqrt{119}i+5}{12}\approx 0,416666667-0,909059343i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Selvitä 6x^{2} yhdistämällä 2x^{2} ja 4x^{2}.

$$6x^{2}-5x+6=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 6, b luvulla -5 ja c luvulla 6 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 6\times 6}}{2\times 6}$$

Korota -5 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 6\times 6}}{2\times 6}$$

Kerro -4 ja 6.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-24\times 6}}{2\times 6}$$

Kerro -24 ja 6.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-144}}{2\times 6}$$

Lisää 25 lukuun -144.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-119}}{2\times 6}$$

Ota luvun -119 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{119}i}{2\times 6}$$

Luvun -5 vastaluku on 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{119}i}{2\times 6}$$

Kerro 2 ja 6.

$$x=\frac{5±\sqrt{119}i}{12}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±\sqrt{119}i}{12}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 5 lukuun i\sqrt{119}.

$$x=\frac{5+\sqrt{119}i}{12}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±\sqrt{119}i}{12}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{119} luvusta 5.

$$x=\frac{-\sqrt{119}i+5}{12}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{5+\sqrt{119}i}{12} x=\frac{-\sqrt{119}i+5}{12}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Selvitä 6x^{2} yhdistämällä 2x^{2} ja 4x^{2}.

$$6x^{2}-5x+6=0$$

Vähennä 6 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$6x^{2}-5x=-6$$

Jaa molemmat puolet luvulla 6.

$$\frac{6x^{2}-5x}{6}=-\frac{6}{6}$$

Jakaminen luvulla 6 kumoaa kertomisen luvulla 6.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x=-\frac{6}{6}$$

Jaa -6 luvulla 6.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x=-1$$

Jaa -\frac{5}{6} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{12}. Lisää sitten -\frac{5}{12}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{12} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=-1+\frac{25}{144}$$

Lisää -1 lukuun \frac{25}{144}.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=-\frac{119}{144}$$

Jaa x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}=-\frac{119}{144}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{119}{144}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{5}{12}=\frac{\sqrt{119}i}{12} x-\frac{5}{12}=-\frac{\sqrt{119}i}{12}$$

Lisää \frac{5}{12} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{5+\sqrt{119}i}{12} x=\frac{-\sqrt{119}i+5}{12}$$