Ratkaise 2x^2+4x+6=0

$$2 x ^ { 2 } + 4 x + 6 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=-1+\sqrt{2}i\approx -1+1,414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i-1\approx -1-1,414213562i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}+4x+6=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla 4 ja c luvulla 6 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 2\times 6}}{2\times 2}$$

Korota 4 neliöön.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 2\times 6}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-8\times 6}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja 6.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-48}}{2\times 2}$$

Lisää 16 lukuun -48.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-32}}{2\times 2}$$

Ota luvun -32 neliöjuuri.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}i}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}i}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±4\sqrt{2}i}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -4 lukuun 4i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-4+2^{\frac{5}{2}}i}{4}$$

Jaa -4+i\times 2^{\frac{5}{2}} luvulla 4.

$$x=-1+\sqrt{2}i$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±4\sqrt{2}i}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4i\sqrt{2} luvusta -4.

$$x=\frac{-2^{\frac{5}{2}}i-4}{4}$$

Jaa -4-i\times 2^{\frac{5}{2}} luvulla 4.

$$x=-\sqrt{2}i-1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-1+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+4x+6=0$$

Vähennä 6 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2x^{2}+4x+6-6=-6$$

Kun luku 6 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}+4x=-6$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}+4x}{2}=-\frac{6}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{4}{2}x=-\frac{6}{2}$$

Jaa 4 luvulla 2.

$$x^{2}+2x=-\frac{6}{2}$$

Jaa -6 luvulla 2.

$$x^{2}+2x=-3$$

Jaa 2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 1. Lisää sitten 1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+2x+1^{2}=-3+1^{2}$$

Korota 1 neliöön.

$$x^{2}+2x+1=-3+1$$

Lisää -3 lukuun 1.

$$x^{2}+2x+1=-2$$

Jaa x^{2}+2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=-2$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Sievennä.

$$x+1=\sqrt{2}i x+1=-\sqrt{2}i$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-1+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-1$$