Ratkaise 2x^2+3x-90=0

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 90 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7,5$$

$$x=6$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 2x^{2}+ax+bx-90. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=3 ab=2\left(-90\right)=-180$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -180.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 3.

$$a=-12 b=15$$

Kirjoita \left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right) uudelleen muodossa 2x^{2}+3x-90.

$$\left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right)$$

Jaa 2x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 15.

$$2x\left(x-6\right)+15\left(x-6\right)$$

Jaa yleinen termi x-6 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-6\right)\left(2x+15\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-6=0 ja 2x+15=0.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla 3 ja c luvulla -90 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Korota 3 neliöön.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -90.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+720}}{2\times 2}$$

Lisää 9 lukuun 720.

$$x=\frac{-3±\sqrt{729}}{2\times 2}$$

Ota luvun 729 neliöjuuri.

$$x=\frac{-3±27}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{-3±27}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±27}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -3 lukuun 27.

$$x=\frac{24}{4}$$

Jaa 24 luvulla 4.

$$x=6$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±27}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 27 luvusta -3.

$$x=-\frac{30}{4}$$

Supista murtoluku \frac{-30}{4} luvulla 2.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

Lisää 90 yhtälön kummallekin puolelle.

$$2x^{2}+3x-90-\left(-90\right)=-\left(-90\right)$$

Kun luku -90 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}+3x=-\left(-90\right)$$

Vähennä -90 luvusta 0.

$$2x^{2}+3x=90$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{90}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{90}{2}$$

Jaa 90 luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=45$$

Jaa \frac{3}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{4}. Lisää sitten \frac{3}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=45+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=45+\frac{9}{16}$$

Lisää 45 lukuun \frac{9}{16}.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{729}{16}$$

Jaa x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{729}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{16}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{27}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{27}{4}$$

Vähennä \frac{3}{4} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$