Ratkaise 2x^2+3x-8=0

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 8 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{73} - 3}{4} \approx 1,386000936$$

$$x=\frac{-\sqrt{73}-3}{4}\approx -2,886000936$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}+3x-8=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla 3 ja c luvulla -8 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-8\right)}}{2\times 2}$$

Korota 3 neliöön.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-8\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-8\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -8.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+64}}{2\times 2}$$

Lisää 9 lukuun 64.

$$x=\frac{-3±\sqrt{73}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{73}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{73}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -3 lukuun \sqrt{73}.

$$x=\frac{\sqrt{73}-3}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{73}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{73} luvusta -3.

$$x=\frac{-\sqrt{73}-3}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{73}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{73}-3}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+3x-8=0$$

Lisää 8 yhtälön kummallekin puolelle.

$$2x^{2}+3x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Kun luku -8 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}+3x=-\left(-8\right)$$

Vähennä -8 luvusta 0.

$$2x^{2}+3x=8$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{8}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{8}{2}$$

Jaa 8 luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=4$$

Jaa \frac{3}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{4}. Lisää sitten \frac{3}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=4+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=4+\frac{9}{16}$$

Lisää 4 lukuun \frac{9}{16}.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{73}{16}$$

Jaa x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{73}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{73}{16}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{73}}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{73}}{4}$$

Vähennä \frac{3}{4} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{73}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{73}-3}{4}$$