Ratkaise 2x^2+3x-20=0

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 20 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-4$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 2x^{2}+ax+bx-20. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=3 ab=2\left(-20\right)=-40$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -40.

$$-1,40 -2,20 -4,10 -5,8$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+40=39 -2+20=18 -4+10=6 -5+8=3$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 3.

$$a=-5 b=8$$

Kirjoita \left(2x^{2}-5x\right)+\left(8x-20\right) uudelleen muodossa 2x^{2}+3x-20.

$$\left(2x^{2}-5x\right)+\left(8x-20\right)$$

Jaa x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 4.

$$x\left(2x-5\right)+4\left(2x-5\right)$$

Jaa yleinen termi 2x-5 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(2x-5\right)\left(x+4\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 2x-5=0 ja x+4=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}+3x-20=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla 3 ja c luvulla -20 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

Korota 3 neliöön.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -20.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+160}}{2\times 2}$$

Lisää 9 lukuun 160.

$$x=\frac{-3±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Ota luvun 169 neliöjuuri.

$$x=\frac{-3±13}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{-3±13}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±13}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -3 lukuun 13.

$$x=\frac{10}{4}$$

Supista murtoluku \frac{10}{4} luvulla 2.

$$x=\frac{5}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±13}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 13 luvusta -3.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Jaa -16 luvulla 4.

$$x=-4$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+3x-20=0$$

Lisää 20 yhtälön kummallekin puolelle.

$$2x^{2}+3x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

Kun luku -20 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}+3x=-\left(-20\right)$$

Vähennä -20 luvusta 0.

$$2x^{2}+3x=20$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{20}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{20}{2}$$

Jaa 20 luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=10$$

Jaa \frac{3}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{4}. Lisää sitten \frac{3}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=10+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=10+\frac{9}{16}$$

Lisää 10 lukuun \frac{9}{16}.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{169}{16}$$

Jaa x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{13}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{13}{4}$$

Vähennä \frac{3}{4} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$