Ratkaise 2x^2+28x+148=0

$$2 x ^ { 2 } + 28 x + 148 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=-7+5i$$

$$x=-7-5i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}+28x+148=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla 28 ja c luvulla 148 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 2\times 148}}{2\times 2}$$

Korota 28 neliöön.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 2\times 148}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-8\times 148}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja 148.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-1184}}{2\times 2}$$

Lisää 784 lukuun -1184.

$$x=\frac{-28±\sqrt{-400}}{2\times 2}$$

Ota luvun -400 neliöjuuri.

$$x=\frac{-28±20i}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{-28±20i}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-28±20i}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -28 lukuun 20i.

$$x=\frac{-28+20i}{4}$$

Jaa -28+20i luvulla 4.

$$x=-7+5i$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-28±20i}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 20i luvusta -28.

$$x=\frac{-28-20i}{4}$$

Jaa -28-20i luvulla 4.

$$x=-7-5i$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-7+5i x=-7-5i$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+28x+148=0$$

Vähennä 148 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2x^{2}+28x+148-148=-148$$

Kun luku 148 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}+28x=-148$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}+28x}{2}=-\frac{148}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{28}{2}x=-\frac{148}{2}$$

Jaa 28 luvulla 2.

$$x^{2}+14x=-\frac{148}{2}$$

Jaa -148 luvulla 2.

$$x^{2}+14x=-74$$

Jaa 14 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 7. Lisää sitten 7:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+14x+7^{2}=-74+7^{2}$$

Korota 7 neliöön.

$$x^{2}+14x+49=-74+49$$

Lisää -74 lukuun 49.

$$x^{2}+14x+49=-25$$

Jaa x^{2}+14x+49 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+7\right)^{2}=-25$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{-25}$$

Sievennä.

$$x+7=5i x+7=-5i$$

Vähennä 7 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-7+5i x=-7-5i$$