Ratkaise 2x^2+2x-24=0

$$2 x ^ { 2 } + 2 x - 24 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-4$$

$$x=3$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$x^{2}+x-12=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon x^{2}+ax+bx-12. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=1 ab=1\left(-12\right)=-12$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 1.

$$a=-3 b=4$$

Kirjoita \left(x^{2}-3x\right)+\left(4x-12\right) uudelleen muodossa x^{2}+x-12.

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(4x-12\right)$$

Jaa x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 4.

$$x\left(x-3\right)+4\left(x-3\right)$$

Jaa yleinen termi x-3 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-3\right)\left(x+4\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-3=0 ja x+4=0.

$$x=3 x=-4$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}+2x-24=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla 2 ja c luvulla -24 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Korota 2 neliöön.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -24.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+192}}{2\times 2}$$

Lisää 4 lukuun 192.

$$x=\frac{-2±\sqrt{196}}{2\times 2}$$

Ota luvun 196 neliöjuuri.

$$x=\frac{-2±14}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{-2±14}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±14}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -2 lukuun 14.

$$x=\frac{12}{4}$$

Jaa 12 luvulla 4.

$$x=3$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±14}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 14 luvusta -2.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Jaa -16 luvulla 4.

$$x=-4$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=3 x=-4$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+2x-24=0$$

Lisää 24 yhtälön kummallekin puolelle.

$$2x^{2}+2x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Kun luku -24 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}+2x=-\left(-24\right)$$

Vähennä -24 luvusta 0.

$$2x^{2}+2x=24$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=\frac{24}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=\frac{24}{2}$$

Jaa 2 luvulla 2.

$$x^{2}+x=\frac{24}{2}$$

Jaa 24 luvulla 2.

$$x^{2}+x=12$$

Jaa 1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{2}. Lisää sitten \frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=12+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=12+\frac{1}{4}$$

Lisää 12 lukuun \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{49}{4}$$

Jaa x^{2}+x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{7}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{7}{2}$$

Vähennä \frac{1}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=3 x=-4$$