Ratkaise 2x^2+2x+1=0

$$2 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i=-0,5+0,5i$$

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i=-0,5-0,5i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}+2x+1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla 2 ja c luvulla 1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2}}{2\times 2}$$

Korota 2 neliöön.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8}}{2\times 2}$$

Lisää 4 lukuun -8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-4}}{2\times 2}$$

Ota luvun -4 neliöjuuri.

$$x=\frac{-2±2i}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{-2±2i}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2i}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -2 lukuun 2i.

$$x=\frac{-2+2i}{4}$$

Jaa -2+2i luvulla 4.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2i}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i luvusta -2.

$$x=\frac{-2-2i}{4}$$

Jaa -2-2i luvulla 4.

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+2x+1=0$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2x^{2}+2x+1-1=-1$$

Kun luku 1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}+2x=-1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=-\frac{1}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=-\frac{1}{2}$$

Jaa 2 luvulla 2.

$$x^{2}+x=-\frac{1}{2}$$

Jaa 1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{2}. Lisää sitten \frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Lisää -\frac{1}{2} lukuun \frac{1}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$$

Jaa x^{2}+x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}i x+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}i$$

Vähennä \frac{1}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$