Ratkaise 2x^2+15x=8x-5

$$2 x ^ { 2 } + 15 x = 8 x - 5$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=-1$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Vähennä 8x molemmilta puolilta.

$$2x^{2}+15x-8x=-5$$

Selvitä 7x yhdistämällä 15x ja -8x.

$$2x^{2}+7x=-5$$

Lisää 5 molemmille puolille.

$$2x^{2}+7x+5=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 2x^{2}+ax+bx+5. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=7 ab=2\times 5=10$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on myönteinen, a ja b ovat molemmat myönteisiä. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on 10.

$$1,10 2,5$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+10=11 2+5=7$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on 7.

$$a=2 b=5$$

Kirjoita \left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right) uudelleen muodossa 2x^{2}+7x+5.

$$\left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right)$$

Ota 2x tekijäksi ensimmäisessä ja 5 toisessa ryhmässä.

$$2x\left(x+1\right)+5\left(x+1\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi x+1 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt x+1=0 ja 2x+5=0.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä 8x molemmilta puolilta.

$$2x^{2}+15x-8x=-5$$

Selvitä 7x yhdistämällä 15x ja -8x.

$$2x^{2}+7x=-5$$

Lisää 5 molemmille puolille.

$$2x^{2}+7x+5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla 7 ja c luvulla 5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Korota 7 neliöön.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\times 5}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja 5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40}}{2\times 2}$$

Lisää 49 lukuun -40.

$$x=\frac{-7±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Ota luvun 9 neliöjuuri.

$$x=\frac{-7±3}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{-7±3}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±3}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -7 lukuun 3.

$$x=-\frac{4}{4}$$

Jaa -4 luvulla 4.

$$x=-1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±3}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3 luvusta -7.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Supista murtoluku \frac{-10}{4} luvulla 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vähennä 8x molemmilta puolilta.

$$2x^{2}+15x-8x=-5$$

Selvitä 7x yhdistämällä 15x ja -8x.

$$2x^{2}+7x=-5$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=-\frac{5}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=-\frac{5}{2}$$

Jaa \frac{7}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{7}{4}. Lisää sitten \frac{7}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Korota \frac{7}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{49}{16}$$

Lisää -\frac{5}{2} lukuun \frac{49}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{16}$$

Jaa x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{3}{4}$$

Vähennä \frac{7}{4} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$