Ratkaise 2x^2+12x=66

$$2 x ^ { 2 } + 12 x = 66$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\sqrt{42}-3\approx 3,480740698$$

$$x=-\left(\sqrt{42}+3\right)\approx -9,480740698$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}+12x=66$$

Vähennä 66 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2x^{2}+12x-66=66-66$$

Kun luku 66 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}+12x-66=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla 12 ja c luvulla -66 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 2\left(-66\right)}}{2\times 2}$$

Korota 12 neliöön.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 2\left(-66\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-8\left(-66\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -66.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+528}}{2\times 2}$$

Lisää 144 lukuun 528.

$$x=\frac{-12±\sqrt{672}}{2\times 2}$$

Ota luvun 672 neliöjuuri.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{42}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{42}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-12±4\sqrt{42}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -12 lukuun 4\sqrt{42}.

$$x=\frac{4\sqrt{42}-12}{4}$$

Jaa -12+4\sqrt{42} luvulla 4.

$$x=\sqrt{42}-3$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-12±4\sqrt{42}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{42} luvusta -12.

$$x=\frac{-4\sqrt{42}-12}{4}$$

Jaa -12-4\sqrt{42} luvulla 4.

$$x=-\sqrt{42}-3$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{42}-3 x=-\sqrt{42}-3$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+12x=66$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}+12x}{2}=\frac{66}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{12}{2}x=\frac{66}{2}$$

Jaa 12 luvulla 2.

$$x^{2}+6x=\frac{66}{2}$$

Jaa 66 luvulla 2.

$$x^{2}+6x=33$$

Jaa 6 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 3. Lisää sitten 3:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+6x+3^{2}=33+3^{2}$$

Korota 3 neliöön.

$$x^{2}+6x+9=33+9$$

Lisää 33 lukuun 9.

$$x^{2}+6x+9=42$$

Jaa x^{2}+6x+9 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+3\right)^{2}=42$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{42}$$

Sievennä.

$$x+3=\sqrt{42} x+3=-\sqrt{42}$$

Vähennä 3 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\sqrt{42}-3 x=-\sqrt{42}-3$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{42}-3\approx 3,480740698$$

$$x=-\sqrt{42}-3\approx -9,480740698$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}+12x=66$$

Vähennä 66 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2x^{2}+12x-66=66-66$$

Kun luku 66 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}+12x-66=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla 12 ja c luvulla -66 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 2\left(-66\right)}}{2\times 2}$$

Korota 12 neliöön.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 2\left(-66\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-8\left(-66\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -66.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+528}}{2\times 2}$$

Lisää 144 lukuun 528.

$$x=\frac{-12±\sqrt{672}}{2\times 2}$$

Ota luvun 672 neliöjuuri.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{42}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{42}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-12±4\sqrt{42}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -12 lukuun 4\sqrt{42}.

$$x=\frac{4\sqrt{42}-12}{4}$$

Jaa -12+4\sqrt{42} luvulla 4.

$$x=\sqrt{42}-3$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-12±4\sqrt{42}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{42} luvusta -12.

$$x=\frac{-4\sqrt{42}-12}{4}$$

Jaa -12-4\sqrt{42} luvulla 4.

$$x=-\sqrt{42}-3$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{42}-3 x=-\sqrt{42}-3$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+12x=66$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}+12x}{2}=\frac{66}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{12}{2}x=\frac{66}{2}$$

Jaa 12 luvulla 2.

$$x^{2}+6x=\frac{66}{2}$$

Jaa 66 luvulla 2.

$$x^{2}+6x=33$$

Jaa 6 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 3. Lisää sitten 3:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+6x+3^{2}=33+3^{2}$$

Korota 3 neliöön.

$$x^{2}+6x+9=33+9$$

Lisää 33 lukuun 9.

$$x^{2}+6x+9=42$$

Jaa x^{2}+6x+9 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+3\right)^{2}=42$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{42}$$

Sievennä.

$$x+3=\sqrt{42} x+3=-\sqrt{42}$$

Vähennä 3 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\sqrt{42}-3 x=-\sqrt{42}-3$$