Ratkaise 2x^2+3/8x+16=0

$$2 x ^ { 2 } + \frac { 3 } { 8 } x + 16 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-3+7\sqrt{167}i}{32}\approx -0,09375+2,826872996i$$

$$x=\frac{-7\sqrt{167}i-3}{32}\approx -0,09375-2,826872996i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}+\frac{3}{8}x+16=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla \frac{3}{8} ja c luvulla 16 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{3}{8}±\sqrt{\left(\frac{3}{8}\right)^{2}-4\times 2\times 16}}{2\times 2}$$

Korota \frac{3}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x=\frac{-\frac{3}{8}±\sqrt{\frac{9}{64}-4\times 2\times 16}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\frac{3}{8}±\sqrt{\frac{9}{64}-8\times 16}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja 16.

$$x=\frac{-\frac{3}{8}±\sqrt{\frac{9}{64}-128}}{2\times 2}$$

Lisää \frac{9}{64} lukuun -128.

$$x=\frac{-\frac{3}{8}±\sqrt{-\frac{8183}{64}}}{2\times 2}$$

Ota luvun -\frac{8183}{64} neliöjuuri.

$$x=\frac{-\frac{3}{8}±\frac{7\sqrt{167}i}{8}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{-\frac{3}{8}±\frac{7\sqrt{167}i}{8}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-\frac{3}{8}±\frac{7\sqrt{167}i}{8}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -\frac{3}{8} lukuun \frac{7i\sqrt{167}}{8}.

$$x=\frac{-3+7\sqrt{167}i}{4\times 8}$$

Jaa \frac{-3+7i\sqrt{167}}{8} luvulla 4.

$$x=\frac{-3+7\sqrt{167}i}{32}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-\frac{3}{8}±\frac{7\sqrt{167}i}{8}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \frac{7i\sqrt{167}}{8} luvusta -\frac{3}{8}.

$$x=\frac{-7\sqrt{167}i-3}{4\times 8}$$

Jaa \frac{-3-7i\sqrt{167}}{8} luvulla 4.

$$x=\frac{-7\sqrt{167}i-3}{32}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-3+7\sqrt{167}i}{32} x=\frac{-7\sqrt{167}i-3}{32}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+\frac{3}{8}x+16=0$$

Vähennä 16 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2x^{2}+\frac{3}{8}x+16-16=-16$$

Kun luku 16 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}+\frac{3}{8}x=-16$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}+\frac{3}{8}x}{2}=-\frac{16}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{\frac{3}{8}}{2}x=-\frac{16}{2}$$

Jaa \frac{3}{8} luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{3}{16}x=-\frac{16}{2}$$

Jaa -16 luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{3}{16}x=-8$$

Jaa \frac{3}{16} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{32}. Lisää sitten \frac{3}{32}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{3}{16}x+\left(\frac{3}{32}\right)^{2}=-8+\left(\frac{3}{32}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{32} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{3}{16}x+\frac{9}{1024}=-8+\frac{9}{1024}$$

Lisää -8 lukuun \frac{9}{1024}.

$$x^{2}+\frac{3}{16}x+\frac{9}{1024}=-\frac{8183}{1024}$$

Jaa x^{2}+\frac{3}{16}x+\frac{9}{1024} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{32}\right)^{2}=-\frac{8183}{1024}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{32}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{8183}{1024}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{3}{32}=\frac{7\sqrt{167}i}{32} x+\frac{3}{32}=-\frac{7\sqrt{167}i}{32}$$

Vähennä \frac{3}{32} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-3+7\sqrt{167}i}{32} x=\frac{-7\sqrt{167}i-3}{32}$$