Ratkaise 2x+3y=6quadtext{and}quad6x-5y=4

$$2 x + 3 y = 6 \quad \text { and } \quad 6 x - 5 y = 4$$

Ratkaise muuttujan x, y suhteen

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

$$y=1$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Jos haluat ratkaista yhtälöparin sijoitusmenetelmällä, ratkaise ensin yksi yhtälö yhden muuttujan suhteen. Sijoita sitten sen muuttujan tulos toiseen yhtälöön.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Valitse jokin yhtälöistä ja ratkaise se x:n suhteen eristämällä x yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$2x+3y=6$$

Vähennä 3y yhtälön molemmilta puolilta.

$$2x=-3y+6$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+6\right)$$

Kerro \frac{1}{2} ja -3y+6.

$$x=-\frac{3}{2}y+3$$

Korvaa x arvolla -\frac{3y}{2}+3 toisessa yhtälössä, 6x-5y=4.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+3\right)-5y=4$$

Kerro 6 ja -\frac{3y}{2}+3.

$$-9y+18-5y=4$$

Lisää -9y lukuun -5y.

$$-14y+18=4$$

Vähennä 18 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-14y=-14$$

Jaa molemmat puolet luvulla -14.

$$y=1$$

Korvaa y arvolla 1 yhtälössä x=-\frac{3}{2}y+3. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$x=-\frac{3}{2}+3$$

Lisää 3 lukuun -\frac{3}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 käänteinen matriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisikaava voidaan kirjoittaa uudelleen matriisin kertolaskuongelmana.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-3\times 6}&-\frac{3}{2\left(-5\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{2\left(-5\right)-3\times 6}&\frac{2}{2\left(-5\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{28}&\frac{3}{28}\\\frac{3}{14}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{28}\times 6+\frac{3}{28}\times 4\\\frac{3}{14}\times 6-\frac{1}{14}\times 4\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\1\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot x ja y.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Vaiheet, joissa käytetään eliminointia

Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Jos haluat saada luvut 2x ja 6x yhtä suuriksi, kerro kaikki termit ensimmäisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 6 ja kaikki termit toisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 2.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 6,2\times 6x+2\left(-5\right)y=2\times 4$$

Sievennä.

$$12x+18y=36,12x-10y=8$$

Vähennä 12x-10y=8 lausekkeesta 12x+18y=36 vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.

$$12x-12x+18y+10y=36-8$$

Lisää 12x lukuun -12x. Termit 12x ja -12x kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.

$$18y+10y=36-8$$

Lisää 18y lukuun 10y.

$$28y=36-8$$

Lisää 36 lukuun -8.

$$28y=28$$

Jaa molemmat puolet luvulla 28.

$$y=1$$

Korvaa y arvolla 1 yhtälössä 6x-5y=4. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$6x-5=4$$

Lisää 5 yhtälön kummallekin puolelle.

$$6x=9$$

Jaa molemmat puolet luvulla 6.

$$x=\frac{3}{2}$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$