Ratkaise 2x+3=17-x^2

$$2 x + 3 = 17 - x ^ { 2 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\sqrt{15}-1\approx 2,872983346$$

$$x=-\left(\sqrt{15}+1\right)\approx -4,872983346$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä 17 molemmilta puolilta.

$$2x+3-17=-x^{2}$$

Vähennä 17 luvusta 3 saadaksesi tuloksen -14.

$$2x-14=-x^{2}$$

Lisää x^{2} molemmille puolille.

$$2x-14+x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+2x-14=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 2 ja c luvulla -14 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-14\right)}}{2}$$

Korota 2 neliöön.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-14\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -14.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+56}}{2}$$

Lisää 4 lukuun 56.

$$x=\frac{-2±\sqrt{60}}{2}$$

Ota luvun 60 neliöjuuri.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{15}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{15}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -2 lukuun 2\sqrt{15}.

$$x=\frac{2\sqrt{15}-2}{2}$$

Jaa -2+2\sqrt{15} luvulla 2.

$$x=\sqrt{15}-1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{15}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{15} luvusta -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{15}-2}{2}$$

Jaa -2-2\sqrt{15} luvulla 2.

$$x=-\sqrt{15}-1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{15}-1 x=-\sqrt{15}-1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Lisää x^{2} molemmille puolille.

$$2x+3+x^{2}=17$$

Vähennä 3 molemmilta puolilta.

$$2x+x^{2}=17-3$$

Vähennä 3 luvusta 17 saadaksesi tuloksen 14.

$$2x+x^{2}=14$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+2x=14$$

Jaa 2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 1. Lisää sitten 1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+2x+1^{2}=14+1^{2}$$

Korota 1 neliöön.

$$x^{2}+2x+1=14+1$$

Lisää 14 lukuun 1.

$$x^{2}+2x+1=15$$

Jaa x^{2}+2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=15$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{15}$$

Sievennä.

$$x+1=\sqrt{15} x+1=-\sqrt{15}$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\sqrt{15}-1 x=-\sqrt{15}-1$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{15}-1\approx 2,872983346$$

$$x=-\sqrt{15}-1\approx -4,872983346$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä 17 molemmilta puolilta.

$$2x+3-17=-x^{2}$$

Vähennä 17 luvusta 3 saadaksesi tuloksen -14.

$$2x-14=-x^{2}$$

Lisää x^{2} molemmille puolille.

$$2x-14+x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+2x-14=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 2 ja c luvulla -14 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-14\right)}}{2}$$

Korota 2 neliöön.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-14\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -14.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+56}}{2}$$

Lisää 4 lukuun 56.

$$x=\frac{-2±\sqrt{60}}{2}$$

Ota luvun 60 neliöjuuri.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{15}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{15}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -2 lukuun 2\sqrt{15}.

$$x=\frac{2\sqrt{15}-2}{2}$$

Jaa -2+2\sqrt{15} luvulla 2.

$$x=\sqrt{15}-1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{15}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{15} luvusta -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{15}-2}{2}$$

Jaa -2-2\sqrt{15} luvulla 2.

$$x=-\sqrt{15}-1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{15}-1 x=-\sqrt{15}-1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Lisää x^{2} molemmille puolille.

$$2x+3+x^{2}=17$$

Vähennä 3 molemmilta puolilta.

$$2x+x^{2}=17-3$$

Vähennä 3 luvusta 17 saadaksesi tuloksen 14.

$$2x+x^{2}=14$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+2x=14$$

Jaa 2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 1. Lisää sitten 1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+2x+1^{2}=14+1^{2}$$

Korota 1 neliöön.

$$x^{2}+2x+1=14+1$$

Lisää 14 lukuun 1.

$$x^{2}+2x+1=15$$

Jaa x^{2}+2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=15$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{15}$$

Sievennä.

$$x+1=\sqrt{15} x+1=-\sqrt{15}$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\sqrt{15}-1 x=-\sqrt{15}-1$$