Ratkaise 2x+25+x^2=10

$$2 x + 25 + x ^ { 2 } = 10$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=-1+\sqrt{14}i\approx -1+3,741657387i$$

$$x=-\sqrt{14}i-1\approx -1-3,741657387i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+2x+25=10$$

Vähennä 10 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+2x+25-10=10-10$$

Kun luku 10 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+2x+25-10=0$$

Vähennä 10 luvusta 25.

$$x^{2}+2x+15=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 2 ja c luvulla 15 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 15}}{2}$$

Korota 2 neliöön.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 15}}{2}$$

Kerro -4 ja 15.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-60}}{2}$$

Lisää 4 lukuun -60.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-56}}{2}$$

Ota luvun -56 neliöjuuri.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{14}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{14}i}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -2 lukuun 2i\sqrt{14}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{14}i}{2}$$

Jaa -2+2i\sqrt{14} luvulla 2.

$$x=-1+\sqrt{14}i$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{14}i}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{14} luvusta -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{14}i-2}{2}$$

Jaa -2-2i\sqrt{14} luvulla 2.

$$x=-\sqrt{14}i-1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-1+\sqrt{14}i x=-\sqrt{14}i-1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+2x+25=10$$

Vähennä 25 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+2x+25-25=10-25$$

Kun luku 25 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+2x=10-25$$

Vähennä 25 luvusta 10.

$$x^{2}+2x=-15$$

Jaa 2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 1. Lisää sitten 1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+2x+1^{2}=-15+1^{2}$$

Korota 1 neliöön.

$$x^{2}+2x+1=-15+1$$

Lisää -15 lukuun 1.

$$x^{2}+2x+1=-14$$

Jaa x^{2}+2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=-14$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{-14}$$

Sievennä.

$$x+1=\sqrt{14}i x+1=-\sqrt{14}i$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-1+\sqrt{14}i x=-\sqrt{14}i-1$$