Ratkaise 2t^2-7t-7=0

$$2 t ^ { 2 } - 7 t - 7 = 0$$

Ratkaise muuttujan t suhteen

$$t = \frac{\sqrt{105} + 7}{4} \approx 4,311737691$$

$$t=\frac{7-\sqrt{105}}{4}\approx -0,811737691$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2t^{2}-7t-7=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -7 ja c luvulla -7 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Korota -7 neliöön.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-8\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -7.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+56}}{2\times 2}$$

Lisää 49 lukuun 56.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{105}}{2\times 2}$$

Luvun -7 vastaluku on 7.

$$t=\frac{7±\sqrt{105}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$t=\frac{7±\sqrt{105}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{7±\sqrt{105}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 7 lukuun \sqrt{105}.

$$t=\frac{\sqrt{105}+7}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{7±\sqrt{105}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{105} luvusta 7.

$$t=\frac{7-\sqrt{105}}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$t=\frac{\sqrt{105}+7}{4} t=\frac{7-\sqrt{105}}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2t^{2}-7t-7=0$$

Lisää 7 yhtälön kummallekin puolelle.

$$2t^{2}-7t-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Kun luku -7 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2t^{2}-7t=-\left(-7\right)$$

Vähennä -7 luvusta 0.

$$2t^{2}-7t=7$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2t^{2}-7t}{2}=\frac{7}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$t^{2}-\frac{7}{2}t=\frac{7}{2}$$

Jaa -\frac{7}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{7}{4}. Lisää sitten -\frac{7}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$t^{2}-\frac{7}{2}t+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{7}{2}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{7}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$t^{2}-\frac{7}{2}t+\frac{49}{16}=\frac{7}{2}+\frac{49}{16}$$

Lisää \frac{7}{2} lukuun \frac{49}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$t^{2}-\frac{7}{2}t+\frac{49}{16}=\frac{105}{16}$$

Jaa t^{2}-\frac{7}{2}t+\frac{49}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{105}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(t-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{105}{16}}$$

Sievennä.

$$t-\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{105}}{4} t-\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{105}}{4}$$

Lisää \frac{7}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$t=\frac{\sqrt{105}+7}{4} t=\frac{7-\sqrt{105}}{4}$$