Ratkaise 2t^2-3t-9=0

$$2 t ^ { 2 } - 3 t - 9 = 0$$

Ratkaise muuttujan t suhteen

$$t = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$t=3$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 2t^{2}+at+bt-9. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-3 ab=2\left(-9\right)=-18$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -18.

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -3.

$$a=-6 b=3$$

Kirjoita \left(2t^{2}-6t\right)+\left(3t-9\right) uudelleen muodossa 2t^{2}-3t-9.

$$\left(2t^{2}-6t\right)+\left(3t-9\right)$$

Jaa 2t toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 3.

$$2t\left(t-3\right)+3\left(t-3\right)$$

Jaa yleinen termi t-3 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(t-3\right)\left(2t+3\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista t-3=0 ja 2t+3=0.

$$t=3 t=-\frac{3}{2}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2t^{2}-3t-9=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -3 ja c luvulla -9 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Korota -3 neliöön.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -9.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+72}}{2\times 2}$$

Lisää 9 lukuun 72.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

Ota luvun 81 neliöjuuri.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±9}{2\times 2}$$

Luvun -3 vastaluku on 3.

$$t=\frac{3±9}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$t=\frac{3±9}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{3±9}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 3 lukuun 9.

$$t=\frac{12}{4}$$

Jaa 12 luvulla 4.

$$t=3$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{3±9}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 9 luvusta 3.

$$t=-\frac{6}{4}$$

Supista murtoluku \frac{-6}{4} luvulla 2.

$$t=-\frac{3}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$t=3 t=-\frac{3}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2t^{2}-3t-9=0$$

Lisää 9 yhtälön kummallekin puolelle.

$$2t^{2}-3t-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Kun luku -9 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2t^{2}-3t=-\left(-9\right)$$

Vähennä -9 luvusta 0.

$$2t^{2}-3t=9$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2t^{2}-3t}{2}=\frac{9}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t=\frac{9}{2}$$

Jaa -\frac{3}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{4}. Lisää sitten -\frac{3}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{9}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t+\frac{9}{16}=\frac{9}{2}+\frac{9}{16}$$

Lisää \frac{9}{2} lukuun \frac{9}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t+\frac{9}{16}=\frac{81}{16}$$

Jaa t^{2}-\frac{3}{2}t+\frac{9}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Sievennä.

$$t-\frac{3}{4}=\frac{9}{4} t-\frac{3}{4}=-\frac{9}{4}$$

Lisää \frac{3}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$t=3 t=-\frac{3}{2}$$