Ratkaise 2r^2+21r+54=0

$$2 r ^ { 2 } + 21 r + 54 = 0$$

Ratkaise muuttujan r suhteen

$$r = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4,5$$

$$r=-6$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 2r^{2}+ar+br+54. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=21 ab=2\times 54=108$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on positiivinen, a ja b ovat molemmat positiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 108.

$$1,108 2,54 3,36 4,27 6,18 9,12$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+108=109 2+54=56 3+36=39 4+27=31 6+18=24 9+12=21$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 21.

$$a=9 b=12$$

Kirjoita \left(2r^{2}+9r\right)+\left(12r+54\right) uudelleen muodossa 2r^{2}+21r+54.

$$\left(2r^{2}+9r\right)+\left(12r+54\right)$$

Jaa r toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 6.

$$r\left(2r+9\right)+6\left(2r+9\right)$$

Jaa yleinen termi 2r+9 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(2r+9\right)\left(r+6\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 2r+9=0 ja r+6=0.

$$r=-\frac{9}{2} r=-6$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2r^{2}+21r+54=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla 21 ja c luvulla 54 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

Korota 21 neliöön.

$$r=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$r=\frac{-21±\sqrt{441-8\times 54}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja 54.

$$r=\frac{-21±\sqrt{441-432}}{2\times 2}$$

Lisää 441 lukuun -432.

$$r=\frac{-21±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Ota luvun 9 neliöjuuri.

$$r=\frac{-21±3}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$r=\frac{-21±3}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö r=\frac{-21±3}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -21 lukuun 3.

$$r=-\frac{18}{4}$$

Supista murtoluku \frac{-18}{4} luvulla 2.

$$r=-\frac{9}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö r=\frac{-21±3}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3 luvusta -21.

$$r=-\frac{24}{4}$$

Jaa -24 luvulla 4.

$$r=-6$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$r=-\frac{9}{2} r=-6$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2r^{2}+21r+54=0$$

Vähennä 54 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2r^{2}+21r+54-54=-54$$

Kun luku 54 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2r^{2}+21r=-54$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2r^{2}+21r}{2}=-\frac{54}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r=-\frac{54}{2}$$

Jaa -54 luvulla 2.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r=-27$$

Jaa \frac{21}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{21}{4}. Lisää sitten \frac{21}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r+\left(\frac{21}{4}\right)^{2}=-27+\left(\frac{21}{4}\right)^{2}$$

Korota \frac{21}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r+\frac{441}{16}=-27+\frac{441}{16}$$

Lisää -27 lukuun \frac{441}{16}.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r+\frac{441}{16}=\frac{9}{16}$$

Jaa r^{2}+\frac{21}{2}r+\frac{441}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r+\frac{21}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(r+\frac{21}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Sievennä.

$$r+\frac{21}{4}=\frac{3}{4} r+\frac{21}{4}=-\frac{3}{4}$$

Vähennä \frac{21}{4} yhtälön molemmilta puolilta.

$$r=-\frac{9}{2} r=-6$$