Ratkaise 2p^2-3p-18=0

$$2 p ^ { 2 } - 3 p - 18 = 0$$

Ratkaise muuttujan p suhteen

$$p = \frac{3 \sqrt{17} + 3}{4} \approx 3,842329219$$

$$p=\frac{3-3\sqrt{17}}{4}\approx -2,342329219$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2p^{2}-3p-18=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -3 ja c luvulla -18 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

Korota -3 neliöön.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -18.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+144}}{2\times 2}$$

Lisää 9 lukuun 144.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{153}}{2\times 2}$$

Ota luvun 153 neliöjuuri.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{17}}{2\times 2}$$

Luvun -3 vastaluku on 3.

$$p=\frac{3±3\sqrt{17}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$p=\frac{3±3\sqrt{17}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö p=\frac{3±3\sqrt{17}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 3 lukuun 3\sqrt{17}.

$$p=\frac{3\sqrt{17}+3}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö p=\frac{3±3\sqrt{17}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3\sqrt{17} luvusta 3.

$$p=\frac{3-3\sqrt{17}}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$p=\frac{3\sqrt{17}+3}{4} p=\frac{3-3\sqrt{17}}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2p^{2}-3p-18=0$$

Lisää 18 yhtälön kummallekin puolelle.

$$2p^{2}-3p-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

Kun luku -18 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2p^{2}-3p=-\left(-18\right)$$

Vähennä -18 luvusta 0.

$$2p^{2}-3p=18$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2p^{2}-3p}{2}=\frac{18}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$p^{2}-\frac{3}{2}p=\frac{18}{2}$$

Jaa 18 luvulla 2.

$$p^{2}-\frac{3}{2}p=9$$

Jaa -\frac{3}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{4}. Lisää sitten -\frac{3}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$p^{2}-\frac{3}{2}p+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=9+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$p^{2}-\frac{3}{2}p+\frac{9}{16}=9+\frac{9}{16}$$

Lisää 9 lukuun \frac{9}{16}.

$$p^{2}-\frac{3}{2}p+\frac{9}{16}=\frac{153}{16}$$

Jaa p^{2}-\frac{3}{2}p+\frac{9}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{153}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(p-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{153}{16}}$$

Sievennä.

$$p-\frac{3}{4}=\frac{3\sqrt{17}}{4} p-\frac{3}{4}=-\frac{3\sqrt{17}}{4}$$

Lisää \frac{3}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$p=\frac{3\sqrt{17}+3}{4} p=\frac{3-3\sqrt{17}}{4}$$