Ratkaise 2p^2+4p-5=0

$$2 p ^ { 2 } + 4 p - 5 = 0$$

Ratkaise muuttujan p suhteen

$$p=\frac{\sqrt{14}}{2}-1\approx 0,870828693$$

$$p=-\frac{\sqrt{14}}{2}-1\approx -2,870828693$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2p^{2}+4p-5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla 4 ja c luvulla -5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Korota 4 neliöön.

$$p=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$p=\frac{-4±\sqrt{16-8\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -5.

$$p=\frac{-4±\sqrt{16+40}}{2\times 2}$$

Lisää 16 lukuun 40.

$$p=\frac{-4±\sqrt{56}}{2\times 2}$$

Ota luvun 56 neliöjuuri.

$$p=\frac{-4±2\sqrt{14}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$p=\frac{-4±2\sqrt{14}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö p=\frac{-4±2\sqrt{14}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -4 lukuun 2\sqrt{14}.

$$p=\frac{2\sqrt{14}-4}{4}$$

Jaa -4+2\sqrt{14} luvulla 4.

$$p=\frac{\sqrt{14}}{2}-1$$

Ratkaise nyt yhtälö p=\frac{-4±2\sqrt{14}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{14} luvusta -4.

$$p=\frac{-2\sqrt{14}-4}{4}$$

Jaa -4-2\sqrt{14} luvulla 4.

$$p=-\frac{\sqrt{14}}{2}-1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$p=\frac{\sqrt{14}}{2}-1 p=-\frac{\sqrt{14}}{2}-1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2p^{2}+4p-5=0$$

Lisää 5 yhtälön kummallekin puolelle.

$$2p^{2}+4p-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Kun luku -5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2p^{2}+4p=-\left(-5\right)$$

Vähennä -5 luvusta 0.

$$2p^{2}+4p=5$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2p^{2}+4p}{2}=\frac{5}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$p^{2}+\frac{4}{2}p=\frac{5}{2}$$

Jaa 4 luvulla 2.

$$p^{2}+2p=\frac{5}{2}$$

Jaa 2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 1. Lisää sitten 1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$p^{2}+2p+1^{2}=\frac{5}{2}+1^{2}$$

Korota 1 neliöön.

$$p^{2}+2p+1=\frac{5}{2}+1$$

Lisää \frac{5}{2} lukuun 1.

$$p^{2}+2p+1=\frac{7}{2}$$

Jaa p^{2}+2p+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p+1\right)^{2}=\frac{7}{2}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(p+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{2}}$$

Sievennä.

$$p+1=\frac{\sqrt{14}}{2} p+1=-\frac{\sqrt{14}}{2}$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$p=\frac{\sqrt{14}}{2}-1 p=-\frac{\sqrt{14}}{2}-1$$