Ratkaise 2k^2+9k=-7

$$2 k ^ { 2 } + 9 k = - 7$$

Ratkaise muuttujan k suhteen

$$k = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$k=-1$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Lisää 7 molemmille puolille.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 2k^{2}+ak+bk+7. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=9 ab=2\times 7=14$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on positiivinen, a ja b ovat molemmat positiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 14.

$$1,14 2,7$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+14=15 2+7=9$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 9.

$$a=2 b=7$$

Kirjoita \left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right) uudelleen muodossa 2k^{2}+9k+7.

$$\left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right)$$

Jaa 2k toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 7.

$$2k\left(k+1\right)+7\left(k+1\right)$$

Jaa yleinen termi k+1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(k+1\right)\left(2k+7\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista k+1=0 ja 2k+7=0.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Lisää 7 yhtälön kummallekin puolelle.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=-7-\left(-7\right)$$

Kun luku -7 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=0$$

Vähennä -7 luvusta 0.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla 9 ja c luvulla 7 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Korota 9 neliöön.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-8\times 7}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja 7.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-56}}{2\times 2}$$

Lisää 81 lukuun -56.

$$k=\frac{-9±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

Ota luvun 25 neliöjuuri.

$$k=\frac{-9±5}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$k=\frac{-9±5}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö k=\frac{-9±5}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -9 lukuun 5.

$$k=-\frac{4}{4}$$

Jaa -4 luvulla 4.

$$k=-1$$

Ratkaise nyt yhtälö k=\frac{-9±5}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 5 luvusta -9.

$$k=-\frac{14}{4}$$

Supista murtoluku \frac{-14}{4} luvulla 2.

$$k=-\frac{7}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2k^{2}+9k}{2}=-\frac{7}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k=-\frac{7}{2}$$

Jaa \frac{9}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{9}{4}. Lisää sitten \frac{9}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Korota \frac{9}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{81}{16}$$

Lisää -\frac{7}{2} lukuun \frac{81}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=\frac{25}{16}$$

Jaa k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Sievennä.

$$k+\frac{9}{4}=\frac{5}{4} k+\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}$$

Vähennä \frac{9}{4} yhtälön molemmilta puolilta.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$