Ratkaise 2a^2-a-2=0

$$2 a ^ { 2 } - a - 2 = 0$$

Ratkaise muuttujan a suhteen

$$a = \frac{\sqrt{17} + 1}{4} \approx 1,280776406$$

$$a=\frac{1-\sqrt{17}}{4}\approx -0,780776406$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2a^{2}-a-2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -1 ja c luvulla -2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-2\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$a=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-2\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -2.

$$a=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+16}}{2\times 2}$$

Lisää 1 lukuun 16.

$$a=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{17}}{2\times 2}$$

Luvun -1 vastaluku on 1.

$$a=\frac{1±\sqrt{17}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$a=\frac{1±\sqrt{17}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö a=\frac{1±\sqrt{17}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 1 lukuun \sqrt{17}.

$$a=\frac{\sqrt{17}+1}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö a=\frac{1±\sqrt{17}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{17} luvusta 1.

$$a=\frac{1-\sqrt{17}}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$a=\frac{\sqrt{17}+1}{4} a=\frac{1-\sqrt{17}}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2a^{2}-a-2=0$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$2a^{2}-a-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Kun luku -2 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2a^{2}-a=-\left(-2\right)$$

Vähennä -2 luvusta 0.

$$2a^{2}-a=2$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2a^{2}-a}{2}=\frac{2}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$a^{2}-\frac{1}{2}a=\frac{2}{2}$$

Jaa 2 luvulla 2.

$$a^{2}-\frac{1}{2}a=1$$

Jaa -\frac{1}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{4}. Lisää sitten -\frac{1}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$a^{2}-\frac{1}{2}a+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$a^{2}-\frac{1}{2}a+\frac{1}{16}=1+\frac{1}{16}$$

Lisää 1 lukuun \frac{1}{16}.

$$a^{2}-\frac{1}{2}a+\frac{1}{16}=\frac{17}{16}$$

Jaa a^{2}-\frac{1}{2}a+\frac{1}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{17}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(a-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{16}}$$

Sievennä.

$$a-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{17}}{4} a-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{17}}{4}$$

Lisää \frac{1}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$a=\frac{\sqrt{17}+1}{4} a=\frac{1-\sqrt{17}}{4}$$