Ratkaise 2a^2-21a+48=0

$$2 a ^ { 2 } - 21 a + 48 = 0$$

Ratkaise muuttujan a suhteen

$$a = \frac{\sqrt{57} + 21}{4} \approx 7,137458609$$

$$a = \frac{21 - \sqrt{57}}{4} \approx 3,362541391$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2a^{2}-21a+48=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -21 ja c luvulla 48 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 2\times 48}}{2\times 2}$$

Korota -21 neliöön.

$$a=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 2\times 48}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$a=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-8\times 48}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja 48.

$$a=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-384}}{2\times 2}$$

Lisää 441 lukuun -384.

$$a=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{57}}{2\times 2}$$

Luvun -21 vastaluku on 21.

$$a=\frac{21±\sqrt{57}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$a=\frac{21±\sqrt{57}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö a=\frac{21±\sqrt{57}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 21 lukuun \sqrt{57}.

$$a=\frac{\sqrt{57}+21}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö a=\frac{21±\sqrt{57}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{57} luvusta 21.

$$a=\frac{21-\sqrt{57}}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$a=\frac{\sqrt{57}+21}{4} a=\frac{21-\sqrt{57}}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2a^{2}-21a+48=0$$

Vähennä 48 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2a^{2}-21a+48-48=-48$$

Kun luku 48 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2a^{2}-21a=-48$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2a^{2}-21a}{2}=-\frac{48}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$a^{2}-\frac{21}{2}a=-\frac{48}{2}$$

Jaa -48 luvulla 2.

$$a^{2}-\frac{21}{2}a=-24$$

Jaa -\frac{21}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{21}{4}. Lisää sitten -\frac{21}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$a^{2}-\frac{21}{2}a+\left(-\frac{21}{4}\right)^{2}=-24+\left(-\frac{21}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{21}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$a^{2}-\frac{21}{2}a+\frac{441}{16}=-24+\frac{441}{16}$$

Lisää -24 lukuun \frac{441}{16}.

$$a^{2}-\frac{21}{2}a+\frac{441}{16}=\frac{57}{16}$$

Jaa a^{2}-\frac{21}{2}a+\frac{441}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-\frac{21}{4}\right)^{2}=\frac{57}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(a-\frac{21}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{57}{16}}$$

Sievennä.

$$a-\frac{21}{4}=\frac{\sqrt{57}}{4} a-\frac{21}{4}=-\frac{\sqrt{57}}{4}$$

Lisää \frac{21}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$a=\frac{\sqrt{57}+21}{4} a=\frac{21-\sqrt{57}}{4}$$