Ratkaise 2(x^2+2)=5x

$$2 ( x ^ { 2 } + 2 ) = 5 x$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{7}i}{4}\approx 1,25+0,661437828i$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+5}{4}\approx 1,25-0,661437828i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 2 ja x^{2}+2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x^{2}+4=5x$$

Vähennä 5x molemmilta puolilta.

$$2x^{2}+4-5x=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}-5x+4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -5 ja c luvulla 4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

Korota -5 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\times 4}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-32}}{2\times 2}$$

Lisää 25 lukuun -32.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-7}}{2\times 2}$$

Ota luvun -7 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{7}i}{2\times 2}$$

Luvun -5 vastaluku on 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{7}i}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{5±\sqrt{7}i}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±\sqrt{7}i}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 5 lukuun i\sqrt{7}.

$$x=\frac{5+\sqrt{7}i}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±\sqrt{7}i}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{7} luvusta 5.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+5}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{5+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i+5}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen 2 ja x^{2}+2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x^{2}+4=5x$$

Vähennä 5x molemmilta puolilta.

$$2x^{2}+4-5x=0$$

Vähennä 4 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$2x^{2}-5x=-4$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-5x}{2}=-\frac{4}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{4}{2}$$

Jaa -4 luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-2$$

Jaa -\frac{5}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{4}. Lisää sitten -\frac{5}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-2+\frac{25}{16}$$

Lisää -2 lukuun \frac{25}{16}.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{7}{16}$$

Jaa x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{16}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{7}i}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{7}i}{4}$$

Lisää \frac{5}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{5+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i+5}{4}$$