Ratkaise 2x^2-90x-3600=0

$$2 { x }^{ 2 } -90x-3600=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{15 \sqrt{41} + 45}{2} \approx 70,523431781$$

$$x=\frac{45-15\sqrt{41}}{2}\approx -25,523431781$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}-90x-3600=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -90 ja c luvulla -3600 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 2\left(-3600\right)}}{2\times 2}$$

Korota -90 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 2\left(-3600\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-8\left(-3600\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -3600.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100+28800}}{2\times 2}$$

Lisää 8100 lukuun 28800.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{36900}}{2\times 2}$$

Ota luvun 36900 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±30\sqrt{41}}{2\times 2}$$

Luvun -90 vastaluku on 90.

$$x=\frac{90±30\sqrt{41}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{90±30\sqrt{41}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{90±30\sqrt{41}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 90 lukuun 30\sqrt{41}.

$$x=\frac{30\sqrt{41}+90}{4}$$

Jaa 90+30\sqrt{41} luvulla 4.

$$x=\frac{15\sqrt{41}+45}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{90±30\sqrt{41}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 30\sqrt{41} luvusta 90.

$$x=\frac{90-30\sqrt{41}}{4}$$

Jaa 90-30\sqrt{41} luvulla 4.

$$x=\frac{45-15\sqrt{41}}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{15\sqrt{41}+45}{2} x=\frac{45-15\sqrt{41}}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-90x-3600=0$$

Lisää 3600 yhtälön kummallekin puolelle.

$$2x^{2}-90x-3600-\left(-3600\right)=-\left(-3600\right)$$

Kun luku -3600 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}-90x=-\left(-3600\right)$$

Vähennä -3600 luvusta 0.

$$2x^{2}-90x=3600$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-90x}{2}=\frac{3600}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{90}{2}\right)x=\frac{3600}{2}$$

Jaa -90 luvulla 2.

$$x^{2}-45x=\frac{3600}{2}$$

Jaa 3600 luvulla 2.

$$x^{2}-45x=1800$$

Jaa -45 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{45}{2}. Lisää sitten -\frac{45}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-45x+\left(-\frac{45}{2}\right)^{2}=1800+\left(-\frac{45}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{45}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-45x+\frac{2025}{4}=1800+\frac{2025}{4}$$

Lisää 1800 lukuun \frac{2025}{4}.

$$x^{2}-45x+\frac{2025}{4}=\frac{9225}{4}$$

Jaa x^{2}-45x+\frac{2025}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{45}{2}\right)^{2}=\frac{9225}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{45}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9225}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{45}{2}=\frac{15\sqrt{41}}{2} x-\frac{45}{2}=-\frac{15\sqrt{41}}{2}$$

Lisää \frac{45}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{15\sqrt{41}+45}{2} x=\frac{45-15\sqrt{41}}{2}$$