Ratkaise 2x^2-55x+3=0

$$2 { x }^{ 2 } -55x+3=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{3001} + 55}{4} \approx 27,445345925$$

$$x=\frac{55-\sqrt{3001}}{4}\approx 0,054654075$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}-55x+3=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -55 ja c luvulla 3 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{\left(-55\right)^{2}-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Korota -55 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{3025-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{3025-8\times 3}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{3025-24}}{2\times 2}$$

Lisää 3025 lukuun -24.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{3001}}{2\times 2}$$

Luvun -55 vastaluku on 55.

$$x=\frac{55±\sqrt{3001}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{55±\sqrt{3001}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{55±\sqrt{3001}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 55 lukuun \sqrt{3001}.

$$x=\frac{\sqrt{3001}+55}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{55±\sqrt{3001}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{3001} luvusta 55.

$$x=\frac{55-\sqrt{3001}}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{3001}+55}{4} x=\frac{55-\sqrt{3001}}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-55x+3=0$$

Vähennä 3 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2x^{2}-55x+3-3=-3$$

Kun luku 3 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}-55x=-3$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-55x}{2}=-\frac{3}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{55}{2}x=-\frac{3}{2}$$

Jaa -\frac{55}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{55}{4}. Lisää sitten -\frac{55}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{55}{2}x+\left(-\frac{55}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{2}+\left(-\frac{55}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{55}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{55}{2}x+\frac{3025}{16}=-\frac{3}{2}+\frac{3025}{16}$$

Lisää -\frac{3}{2} lukuun \frac{3025}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{55}{2}x+\frac{3025}{16}=\frac{3001}{16}$$

Jaa x^{2}-\frac{55}{2}x+\frac{3025}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{55}{4}\right)^{2}=\frac{3001}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{55}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3001}{16}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{55}{4}=\frac{\sqrt{3001}}{4} x-\frac{55}{4}=-\frac{\sqrt{3001}}{4}$$

Lisää \frac{55}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{3001}+55}{4} x=\frac{55-\sqrt{3001}}{4}$$