Ratkaise 2x^2-4x-135=0

$$2 { x }^{ 2 } -4x-135=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{274}}{2}+1\approx 9,276472679$$

$$x=-\frac{\sqrt{274}}{2}+1\approx -7,276472679$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}-4x-135=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -4 ja c luvulla -135 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 2\left(-135\right)}}{2\times 2}$$

Korota -4 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 2\left(-135\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-8\left(-135\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -135.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+1080}}{2\times 2}$$

Lisää 16 lukuun 1080.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{1096}}{2\times 2}$$

Ota luvun 1096 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{274}}{2\times 2}$$

Luvun -4 vastaluku on 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{274}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{4±2\sqrt{274}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±2\sqrt{274}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 4 lukuun 2\sqrt{274}.

$$x=\frac{2\sqrt{274}+4}{4}$$

Jaa 4+2\sqrt{274} luvulla 4.

$$x=\frac{\sqrt{274}}{2}+1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±2\sqrt{274}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{274} luvusta 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{274}}{4}$$

Jaa 4-2\sqrt{274} luvulla 4.

$$x=-\frac{\sqrt{274}}{2}+1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{274}}{2}+1 x=-\frac{\sqrt{274}}{2}+1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-4x-135=0$$

Lisää 135 yhtälön kummallekin puolelle.

$$2x^{2}-4x-135-\left(-135\right)=-\left(-135\right)$$

Kun luku -135 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}-4x=-\left(-135\right)$$

Vähennä -135 luvusta 0.

$$2x^{2}-4x=135$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-4x}{2}=\frac{135}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{2}\right)x=\frac{135}{2}$$

Jaa -4 luvulla 2.

$$x^{2}-2x=\frac{135}{2}$$

Jaa -2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -1. Lisää sitten -1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-2x+1=\frac{135}{2}+1$$

Lisää \frac{135}{2} lukuun 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{137}{2}$$

Jaa x^{2}-2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{137}{2}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{137}{2}}$$

Sievennä.

$$x-1=\frac{\sqrt{274}}{2} x-1=-\frac{\sqrt{274}}{2}$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{274}}{2}+1 x=-\frac{\sqrt{274}}{2}+1$$