Ratkaise 2x^2-34x+20=0

$$2 { x }^{ 2 } -34x+20=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{249} + 17}{2} \approx 16,389866919$$

$$x=\frac{17-\sqrt{249}}{2}\approx 0,610133081$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}-34x+20=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -34 ja c luvulla 20 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{\left(-34\right)^{2}-4\times 2\times 20}}{2\times 2}$$

Korota -34 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-4\times 2\times 20}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-8\times 20}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja 20.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-160}}{2\times 2}$$

Lisää 1156 lukuun -160.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{996}}{2\times 2}$$

Ota luvun 996 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±2\sqrt{249}}{2\times 2}$$

Luvun -34 vastaluku on 34.

$$x=\frac{34±2\sqrt{249}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{34±2\sqrt{249}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{34±2\sqrt{249}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 34 lukuun 2\sqrt{249}.

$$x=\frac{2\sqrt{249}+34}{4}$$

Jaa 34+2\sqrt{249} luvulla 4.

$$x=\frac{\sqrt{249}+17}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{34±2\sqrt{249}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{249} luvusta 34.

$$x=\frac{34-2\sqrt{249}}{4}$$

Jaa 34-2\sqrt{249} luvulla 4.

$$x=\frac{17-\sqrt{249}}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{249}+17}{2} x=\frac{17-\sqrt{249}}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-34x+20=0$$

Vähennä 20 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2x^{2}-34x+20-20=-20$$

Kun luku 20 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}-34x=-20$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-34x}{2}=-\frac{20}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{34}{2}\right)x=-\frac{20}{2}$$

Jaa -34 luvulla 2.

$$x^{2}-17x=-\frac{20}{2}$$

Jaa -20 luvulla 2.

$$x^{2}-17x=-10$$

Jaa -17 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{17}{2}. Lisää sitten -\frac{17}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-17x+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-10+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{17}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=-10+\frac{289}{4}$$

Lisää -10 lukuun \frac{289}{4}.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=\frac{249}{4}$$

Jaa x^{2}-17x+\frac{289}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{249}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{249}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{17}{2}=\frac{\sqrt{249}}{2} x-\frac{17}{2}=-\frac{\sqrt{249}}{2}$$

Lisää \frac{17}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{249}+17}{2} x=\frac{17-\sqrt{249}}{2}$$