Ratkaise 2x^2-14x-54=0

$$2 { x }^{ 2 } -14x-54=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{157} + 7}{2} \approx 9,764982043$$

$$x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}\approx -2,764982043$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}-14x-54=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -14 ja c luvulla -54 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 2\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

Korota -14 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 2\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-8\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -54.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+432}}{2\times 2}$$

Lisää 196 lukuun 432.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{628}}{2\times 2}$$

Ota luvun 628 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{157}}{2\times 2}$$

Luvun -14 vastaluku on 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{157}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 14 lukuun 2\sqrt{157}.

$$x=\frac{2\sqrt{157}+14}{4}$$

Jaa 14+2\sqrt{157} luvulla 4.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{157} luvusta 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{157}}{4}$$

Jaa 14-2\sqrt{157} luvulla 4.

$$x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-14x-54=0$$

Lisää 54 yhtälön kummallekin puolelle.

$$2x^{2}-14x-54-\left(-54\right)=-\left(-54\right)$$

Kun luku -54 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}-14x=-\left(-54\right)$$

Vähennä -54 luvusta 0.

$$2x^{2}-14x=54$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-14x}{2}=\frac{54}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{2}\right)x=\frac{54}{2}$$

Jaa -14 luvulla 2.

$$x^{2}-7x=\frac{54}{2}$$

Jaa 54 luvulla 2.

$$x^{2}-7x=27$$

Jaa -7 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{7}{2}. Lisää sitten -\frac{7}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=27+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{7}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=27+\frac{49}{4}$$

Lisää 27 lukuun \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{157}{4}$$

Jaa x^{2}-7x+\frac{49}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{157}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{157}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{\sqrt{157}}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{\sqrt{157}}{2}$$

Lisää \frac{7}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$