Ratkaise 2x^2-14x+25=0

$$2 { x }^{ 2 } -14x+25=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{7}{2}+\frac{1}{2}i=3,5+0,5i$$

$$x=\frac{7}{2}-\frac{1}{2}i=3,5-0,5i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}-14x+25=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -14 ja c luvulla 25 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 2\times 25}}{2\times 2}$$

Korota -14 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 2\times 25}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-8\times 25}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja 25.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-200}}{2\times 2}$$

Lisää 196 lukuun -200.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{-4}}{2\times 2}$$

Ota luvun -4 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2i}{2\times 2}$$

Luvun -14 vastaluku on 14.

$$x=\frac{14±2i}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{14±2i}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{14±2i}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 14 lukuun 2i.

$$x=\frac{14+2i}{4}$$

Jaa 14+2i luvulla 4.

$$x=\frac{7}{2}+\frac{1}{2}i$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{14±2i}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i luvusta 14.

$$x=\frac{14-2i}{4}$$

Jaa 14-2i luvulla 4.

$$x=\frac{7}{2}-\frac{1}{2}i$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{7}{2}+\frac{1}{2}i x=\frac{7}{2}-\frac{1}{2}i$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-14x+25=0$$

Vähennä 25 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2x^{2}-14x+25-25=-25$$

Kun luku 25 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}-14x=-25$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-14x}{2}=-\frac{25}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{2}\right)x=-\frac{25}{2}$$

Jaa -14 luvulla 2.

$$x^{2}-7x=-\frac{25}{2}$$

Jaa -7 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{7}{2}. Lisää sitten -\frac{7}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-\frac{25}{2}+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{7}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-\frac{25}{2}+\frac{49}{4}$$

Lisää -\frac{25}{2} lukuun \frac{49}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-\frac{1}{4}$$

Jaa x^{2}-7x+\frac{49}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{1}{2}i x-\frac{7}{2}=-\frac{1}{2}i$$

Lisää \frac{7}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{7}{2}+\frac{1}{2}i x=\frac{7}{2}-\frac{1}{2}i$$