Ratkaise 2x^2-11x-40=0

$$2 { x }^{ 2 } -11x-40=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=8$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 2x^{2}+ax+bx-40. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=-11 ab=2\left(-40\right)=-80$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin positiivinen. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on -80.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on -11.

$$a=-16 b=5$$

Kirjoita \left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right) uudelleen muodossa 2x^{2}-11x-40.

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right)$$

Ota 2x tekijäksi ensimmäisessä ja 5 toisessa ryhmässä.

$$2x\left(x-8\right)+5\left(x-8\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi x-8 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt x-8=0 ja 2x+5=0.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -11 ja c luvulla -40 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Korota -11 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -40.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+320}}{2\times 2}$$

Lisää 121 lukuun 320.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

Ota luvun 441 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±21}{2\times 2}$$

Luvun -11 vastaluku on 11.

$$x=\frac{11±21}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{11±21}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{11±21}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 11 lukuun 21.

$$x=\frac{32}{4}$$

Jaa 32 luvulla 4.

$$x=8$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{11±21}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 21 luvusta 11.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Supista murtoluku \frac{-10}{4} luvulla 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Lisää 40 yhtälön kummallekin puolelle.

$$2x^{2}-11x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

Kun luku -40 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}-11x=-\left(-40\right)$$

Vähennä -40 luvusta 0.

$$2x^{2}-11x=40$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=\frac{40}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{40}{2}$$

Jaa 40 luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=20$$

Jaa -\frac{11}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{11}{4}. Lisää sitten -\frac{11}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=20+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{11}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=20+\frac{121}{16}$$

Lisää 20 lukuun \frac{121}{16}.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{441}{16}$$

Jaa x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{21}{4}$$

Lisää \frac{11}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$