Ratkaise 2x^2+x-6=30

$$2 { x }^{ 2 } +x-6=30$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4,5$$

$$x=4$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Vähennä 30 molemmilta puolilta.

$$2x^{2}+x-6-30=0$$

Vähennä 30 luvusta -6 saadaksesi tuloksen -36.

$$2x^{2}+x-36=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 2x^{2}+ax+bx-36. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=1 ab=2\left(-36\right)=-72$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 1.

$$a=-8 b=9$$

Kirjoita \left(2x^{2}-8x\right)+\left(9x-36\right) uudelleen muodossa 2x^{2}+x-36.

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(9x-36\right)$$

Jaa 2x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 9.

$$2x\left(x-4\right)+9\left(x-4\right)$$

Jaa yleinen termi x-4 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-4\right)\left(2x+9\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-4=0 ja 2x+9=0.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}+x-6=30$$

Vähennä 30 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2x^{2}+x-6-30=30-30$$

Kun luku 30 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}+x-6-30=0$$

Vähennä 30 luvusta -6.

$$2x^{2}+x-36=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla 1 ja c luvulla -36 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Korota 1 neliöön.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -36.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+288}}{2\times 2}$$

Lisää 1 lukuun 288.

$$x=\frac{-1±\sqrt{289}}{2\times 2}$$

Ota luvun 289 neliöjuuri.

$$x=\frac{-1±17}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{-1±17}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±17}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -1 lukuun 17.

$$x=\frac{16}{4}$$

Jaa 16 luvulla 4.

$$x=4$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±17}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 17 luvusta -1.

$$x=-\frac{18}{4}$$

Supista murtoluku \frac{-18}{4} luvulla 2.

$$x=-\frac{9}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+x-6=30$$

Lisää 6 yhtälön kummallekin puolelle.

$$2x^{2}+x-6-\left(-6\right)=30-\left(-6\right)$$

Kun luku -6 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}+x=30-\left(-6\right)$$

Vähennä -6 luvusta 30.

$$2x^{2}+x=36$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{36}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{36}{2}$$

Jaa 36 luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=18$$

Jaa \frac{1}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{4}. Lisää sitten \frac{1}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=18+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=18+\frac{1}{16}$$

Lisää 18 lukuun \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{289}{16}$$

Jaa x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{289}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{16}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{17}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{17}{4}$$

Vähennä \frac{1}{4} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$