Ratkaise 2x^2+x-528=0

$$2 { x }^{ 2 } +x-528=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{33}{2} = -16\frac{1}{2} = -16,5$$

$$x=16$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 2x^{2}+ax+bx-528. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=1 ab=2\left(-528\right)=-1056$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on -1056.

$$-1,1056 -2,528 -3,352 -4,264 -6,176 -8,132 -11,96 -12,88 -16,66 -22,48 -24,44 -32,33$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+1056=1055 -2+528=526 -3+352=349 -4+264=260 -6+176=170 -8+132=124 -11+96=85 -12+88=76 -16+66=50 -22+48=26 -24+44=20 -32+33=1$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on 1.

$$a=-32 b=33$$

Kirjoita \left(2x^{2}-32x\right)+\left(33x-528\right) uudelleen muodossa 2x^{2}+x-528.

$$\left(2x^{2}-32x\right)+\left(33x-528\right)$$

Ota 2x tekijäksi ensimmäisessä ja 33 toisessa ryhmässä.

$$2x\left(x-16\right)+33\left(x-16\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi x-16 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(x-16\right)\left(2x+33\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt x-16=0 ja 2x+33=0.

$$x=16 x=-\frac{33}{2}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}+x-528=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla 1 ja c luvulla -528 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-528\right)}}{2\times 2}$$

Korota 1 neliöön.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-528\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-528\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -528.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4224}}{2\times 2}$$

Lisää 1 lukuun 4224.

$$x=\frac{-1±\sqrt{4225}}{2\times 2}$$

Ota luvun 4225 neliöjuuri.

$$x=\frac{-1±65}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{-1±65}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±65}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -1 lukuun 65.

$$x=\frac{64}{4}$$

Jaa 64 luvulla 4.

$$x=16$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±65}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 65 luvusta -1.

$$x=-\frac{66}{4}$$

Supista murtoluku \frac{-66}{4} luvulla 2.

$$x=-\frac{33}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=16 x=-\frac{33}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+x-528=0$$

Lisää 528 yhtälön kummallekin puolelle.

$$2x^{2}+x-528-\left(-528\right)=-\left(-528\right)$$

Kun luku -528 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}+x=-\left(-528\right)$$

Vähennä -528 luvusta 0.

$$2x^{2}+x=528$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{528}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{528}{2}$$

Jaa 528 luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=264$$

Jaa \frac{1}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{4}. Lisää sitten \frac{1}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=264+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=264+\frac{1}{16}$$

Lisää 264 lukuun \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{4225}{16}$$

Jaa x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{4225}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4225}{16}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{65}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{65}{4}$$

Vähennä \frac{1}{4} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=16 x=-\frac{33}{2}$$