Ratkaise 2x^2+x+3=0

$$2 { x }^{ 2 } +x+3=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4}\approx -0,25+1,198957881i$$

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}\approx -0,25-1,198957881i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}+x+3=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla 1 ja c luvulla 3 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Korota 1 neliöön.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\times 3}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-24}}{2\times 2}$$

Lisää 1 lukuun -24.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-23}}{2\times 2}$$

Ota luvun -23 neliöjuuri.

$$x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -1 lukuun i\sqrt{23}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{23} luvusta -1.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+x+3=0$$

Vähennä 3 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2x^{2}+x+3-3=-3$$

Kun luku 3 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}+x=-3$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=-\frac{3}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-\frac{3}{2}$$

Jaa \frac{1}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{4}. Lisää sitten \frac{1}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{3}{2}+\frac{1}{16}$$

Lisää -\frac{3}{2} lukuun \frac{1}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{23}{16}$$

Jaa x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{23}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{16}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{23}i}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{23}i}{4}$$

Vähennä \frac{1}{4} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}$$