Ratkaise 2x^2+6x^2+7x+60=0

$$2 { x }^{ 2 } +6 { x }^{ 2 } +7x+60 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-7+\sqrt{1871}i}{16}\approx -0,4375+2,703441094i$$

$$x=\frac{-\sqrt{1871}i-7}{16}\approx -0,4375-2,703441094i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Selvitä 8x^{2} yhdistämällä 2x^{2} ja 6x^{2}.

$$8x^{2}+7x+60=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 8, b luvulla 7 ja c luvulla 60 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 8\times 60}}{2\times 8}$$

Korota 7 neliöön.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 8\times 60}}{2\times 8}$$

Kerro -4 ja 8.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-32\times 60}}{2\times 8}$$

Kerro -32 ja 60.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-1920}}{2\times 8}$$

Lisää 49 lukuun -1920.

$$x=\frac{-7±\sqrt{-1871}}{2\times 8}$$

Ota luvun -1871 neliöjuuri.

$$x=\frac{-7±\sqrt{1871}i}{2\times 8}$$

Kerro 2 ja 8.

$$x=\frac{-7±\sqrt{1871}i}{16}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±\sqrt{1871}i}{16}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -7 lukuun i\sqrt{1871}.

$$x=\frac{-7+\sqrt{1871}i}{16}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±\sqrt{1871}i}{16}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{1871} luvusta -7.

$$x=\frac{-\sqrt{1871}i-7}{16}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-7+\sqrt{1871}i}{16} x=\frac{-\sqrt{1871}i-7}{16}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Selvitä 8x^{2} yhdistämällä 2x^{2} ja 6x^{2}.

$$8x^{2}+7x+60=0$$

Vähennä 60 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$8x^{2}+7x=-60$$

Jaa molemmat puolet luvulla 8.

$$\frac{8x^{2}+7x}{8}=-\frac{60}{8}$$

Jakaminen luvulla 8 kumoaa kertomisen luvulla 8.

$$x^{2}+\frac{7}{8}x=-\frac{60}{8}$$

Supista murtoluku \frac{-60}{8} luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{7}{8}x=-\frac{15}{2}$$

Jaa \frac{7}{8} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{7}{16}. Lisää sitten \frac{7}{16}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{7}{8}x+\left(\frac{7}{16}\right)^{2}=-\frac{15}{2}+\left(\frac{7}{16}\right)^{2}$$

Korota \frac{7}{16} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{7}{8}x+\frac{49}{256}=-\frac{15}{2}+\frac{49}{256}$$

Lisää -\frac{15}{2} lukuun \frac{49}{256} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{7}{8}x+\frac{49}{256}=-\frac{1871}{256}$$

Jaa x^{2}+\frac{7}{8}x+\frac{49}{256} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{16}\right)^{2}=-\frac{1871}{256}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1871}{256}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{7}{16}=\frac{\sqrt{1871}i}{16} x+\frac{7}{16}=-\frac{\sqrt{1871}i}{16}$$

Vähennä \frac{7}{16} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-7+\sqrt{1871}i}{16} x=\frac{-\sqrt{1871}i-7}{16}$$