Ratkaise 2x^2+4x+5=0

$$2 { x }^{ 2 } +4x+5 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{6}i}{2}-1\approx -1+1,224744871i$$

$$x=-\frac{\sqrt{6}i}{2}-1\approx -1-1,224744871i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}+4x+5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla 4 ja c luvulla 5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Korota 4 neliöön.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-8\times 5}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja 5.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-40}}{2\times 2}$$

Lisää 16 lukuun -40.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-24}}{2\times 2}$$

Ota luvun -24 neliöjuuri.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{6}i}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{6}i}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±2\sqrt{6}i}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -4 lukuun 2i\sqrt{6}.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{6}i}{4}$$

Jaa -4+2i\sqrt{6} luvulla 4.

$$x=\frac{\sqrt{6}i}{2}-1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±2\sqrt{6}i}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{6} luvusta -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{6}i-4}{4}$$

Jaa -4-2i\sqrt{6} luvulla 4.

$$x=-\frac{\sqrt{6}i}{2}-1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{6}i}{2}-1 x=-\frac{\sqrt{6}i}{2}-1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+4x+5=0$$

Vähennä 5 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2x^{2}+4x+5-5=-5$$

Kun luku 5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}+4x=-5$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}+4x}{2}=-\frac{5}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{4}{2}x=-\frac{5}{2}$$

Jaa 4 luvulla 2.

$$x^{2}+2x=-\frac{5}{2}$$

Jaa 2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 1. Lisää sitten 1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+2x+1^{2}=-\frac{5}{2}+1^{2}$$

Korota 1 neliöön.

$$x^{2}+2x+1=-\frac{5}{2}+1$$

Lisää -\frac{5}{2} lukuun 1.

$$x^{2}+2x+1=-\frac{3}{2}$$

Jaa x^{2}+2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=-\frac{3}{2}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{2}}$$

Sievennä.

$$x+1=\frac{\sqrt{6}i}{2} x+1=-\frac{\sqrt{6}i}{2}$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{6}i}{2}-1 x=-\frac{\sqrt{6}i}{2}-1$$