Ratkaise 2x^2+3x=3

$$2 { x }^{ 2 } +3x=3$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{33}-3}{4}\approx 0,686140662$$

$$x=\frac{-\sqrt{33}-3}{4}\approx -2,186140662$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}+3x=3$$

Vähennä 3 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2x^{2}+3x-3=3-3$$

Kun luku 3 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}+3x-3=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla 3 ja c luvulla -3 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Korota 3 neliöön.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+24}}{2\times 2}$$

Lisää 9 lukuun 24.

$$x=\frac{-3±\sqrt{33}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{33}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{33}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -3 lukuun \sqrt{33}.

$$x=\frac{\sqrt{33}-3}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{33}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{33} luvusta -3.

$$x=\frac{-\sqrt{33}-3}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{33}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{33}-3}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+3x=3$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{3}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{3}{2}$$

Jaa \frac{3}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{4}. Lisää sitten \frac{3}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{3}{2}+\frac{9}{16}$$

Lisää \frac{3}{2} lukuun \frac{9}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{33}{16}$$

Jaa x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{33}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{33}{16}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{33}}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{33}}{4}$$

Vähennä \frac{3}{4} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{33}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{33}-3}{4}$$